Загрузка...

Теорема Вієта

Теорема Вієта

Теорема 1 (Вієта). Якщо незведене квадратне рівняння має два корені, то , .
Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то ; .
Коли рівняння має один корінь, його можна вважати за два рівних: . Тоді для незведеного квадратного рівняння ; ; для зведеного , .
Зверніть увагу: для того щоб скористатися формулами теореми Вієта, треба спочатку переконатися у наявності коренів рівняння, перевіривши знак його дискримінанта.
Приклади
Знайти суму й додаток коренів рівняння.
1) ;
— додатне число, і це означає, що рівняння має два корені.
Отже, ; .
2) ;
— від’ємне число.

Рівняння не має коренів, знайти їх суму та добуток неможливо.
Теорема 2 (обернена до теореми Вієта для зведених квадратних рівнянь). Якщо сума й добуток чисел і дорівнюють відповідно p і q, то і є коренями рівняння .
Із теореми Вієта випливає, що цілі розв’язки рівняння є дільниками числа q. Користуючись оберненою теоремою, можна перевірити, чи є та чи інша пара дільників q коренями даного рівняння. Це дає можливість усно розв’язувати значну кількість зведених квадратних рівнянь.
Під час розв’язування треба також враховувати такі висновки з теореми Вієта.
1. Якщо , і мають різні знаки.
2. Якщо , і обидва від’ємні чи обидва додатні. Знак і є протилежним до знака p.
Приклад
.
За теоремою Вієта:
; ; .
Очевидно, що .
Відповідь: ; .

 

 

Добавить в соц.закладку