Загрузка...

Дробові раціональні рівняння

Дробові раціональні рівняння

Дробове раціональне рівняння — це рівняння, в якого ліва або права частина або обидві — дробові вирази. Для його розв’язання доцільно діяти у такий спосіб:
1) перенести всі доданки в один бік;
2) звести їх до спільного знаменника;
3) до одержаного рівняння виду (де a і b — деякі цілі вирази) засто­сувати умову рівності дробу нулю;
4) знайти корені чисельника;
5) перевірити, чи не дорівнює знаменник нулю при цих значеннях невідомого;
6) записати відповідь.
Приклад
,
,
,
,

Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля:
; ; .
, .
Якщо , то .
Якщо , то .
Відповідь: .
До дробових раціональних рівнянь приводить велика кількість задач на рух та спільну роботу.
Приклади
Задача 1 (на рух). Теплохід пройшов течією річки 150 км і повернувся назад, витративши на весь шлях 5,5 години. Знайдіть швидкість течії річки, якщо швидкість теплохода в стоячій воді 55 км/год.
Розв’язання

Рух Швидкість (км/год) Час (год) Відстань (км)
За течією 150
Проти течії 150


Нехай швидкість течії річки х км/год. Тоді за течією теплохід рухався зі швидкістю км/год і пройшов 150 км за год. Проти течії теплохід рухався зі швидкістю км/год і пройшов 150 км за год. За умовою задачі, на весь шлях він витратив 5,5 год.
Складемо й розв’яжемо рівняння:
,

,

,

,
,
; . Розв’язок –5 не задовольняє умову задачі: швидкість — число додатне.
Відповідь: швидкість течії 5 км/год.
Задача 2 (на сумісну роботу). Дві бригади, працюючи разом, виконали певне завдання за 4 дні. Скільки днів потрібно на виконання цієї роботи кожній бригаді окремо, якщо першій бригаді для цього потрібно на 6 днів менше, ніж другій?
Розв’язання. (Порівняйте розв’язання із задачею на сумісну роботу за 6-й клас.)
Нехай перша бригада може виконати це завдання за х днів. Тоді другій потрібно днів. Це означає, що за один день перша бригада виконає , а друга — частину всього завдання. За умовою задачі, разом вони можуть виконати все завдання за 4 дні, тобто в день дві бригади, працю­ючи разом, виконують всього завдання.
Складемо й розв’яжемо рівняння:
, ,

.
За теоремою Вієта: , . Корінь не задовольняє умову задачі, тому що час — число до­датне.
; .
Відповідь: першій бригаді потрібно 6 днів, другій — 12 днів.

 

Добавить в соц.закладку