Подібність фігур

Подібність фігур

Перетворення фігури F у фігуру називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в одну й ту саму кількість разів.
Якщо відстані змінюються у k разів, то k називається коефіцієнтом подібності. Якщо , перетворення подібності є рухом.
Нехай F — дана фігура й О — фіксована точка.
Через довільну точку Х фігури F проведемо промінь ОХ і відкладемо на ньому відрізок , що дорівнює , де k — додатне число. Перетворення фігури F, при якому кожна її точка Х переходить у точку , побудовану в такий спосіб, називається гомотетією відносно центраО з коефіцієнтом k. Якщо k — число від’ємне, відрізок відкладають на півпрямій, що є доповняльною до ОХ.
На рисунку наведена гомотетія відносно центра з коефіцієнтом 2.

Теорема. Гомотетія є перетворенням подіб­ності.

Властивості перетворення подібності

Теорема 1. Перетворення подібності переводить прямі у прямі, півпрямі — у півпрямі, відрізки — у відрізки.
Теорема 2. Перетворення подібності зберігає кути між півпрямими.
Із цього випливає, що перетворення подіб­ності переводить паралельні прямі в паралельні прямі. Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності.
Позначення: .

Властивості подібних фігур

Теорема. Коли фігура подібна фігурі , а фігура — фігурі , то фігури і подібні.
Із властивостей перетворення подібно­сті випливає, що у подібних фігур відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорційні. Наприклад, у подібних трикутниках ABC і :
; ; ;
.

Ознаки подібності трикутників

Теорема 1. Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники подібні.
Теорема 2. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути, утворені цими сторонами, рівні, то трикутники подібні.
Теорема 3. Якщо сторони одного трикутника пропорційні сторонам другого трикутника, то такі трикутники по­дібні.
Із цих теорем випливають факти, що є корисними для розв’язування задач.
1. Пряма, яка паралельна стороні трикутника і яка перетинає дві інші його сторони, відтинає від нього трикутник, подібний даному.
На рисунку .

2. У подібних трикутників відповідні елементи (висоти, медіани, бісектриси тощо) відносяться як відповідні сторони.
3. У подібних трикутників периметри відносяться як відповідні сторони.
4. Якщо О — точка перетину діагоналей трапеції ABCD, то .
На рисунку в трапеції ABCD:.

5. Якщо продовження бічих сторін трапеції ABCD перетинаються в точці K, то (див. рисунок).
.

Подібність прямокутних трикутників

Теорема 1. Якщо прямокутні трикутники мають рівний гострий кут, то вони подібні.
Теорема 2. Якщо два катети одного прямокутного трикутника пропорційні двом катетам другого прямокутного трикутника, то ці трикутники подібні.
Теорема 3. Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника пропорційні катету й гіпотенузі другого прямокутного трикутника, то такі трикутники подібні.
Теорема 4. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, розбиває трикутник на два прямокутні трикутники, подібні даному.
На рисунку .


Із подібності прямокутних трикутників випливає таке.
1. Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і проек­цією цього катета на гіпотенузу:
; ,
або
; .
2. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу:
, або .
3. Властивість бісектриси трикутника:
бісектриса трикутника (довільного) поділяє протилежну сторону трикутника на відрізки, пропорційні двом іншим сто­ронам.
На рисунку у BP — бісектриса .
, або .

Подібність рівносторонніх і рівнобедрених трикутників

1. Усі рівносторонні трикутники подібні.
2. Якщо рівнобедрені трикутники мають рівні кути між бічними сторонами, то вони подібні.
3. Якщо рівнобедрені трикутники мають пропорційні основу й бічну сторону, то вони подібні.
a name=, то

Copyright © 2009-2017. All Rights Reserved.