Розв’язування трикутників

Розв’язування трикутників

Теорема косинусів

Теорема (косинусів). Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін і косинуса кута між ними.
У трикутнику, зображеному на рисунку, за теоремою косинусів: .


Теорему косинусів зручно застосувати для розв’язування таких задач.
1. Знайти сторону трикутника, якщо відомі дві інші сторони й кут між ними.
2. Знайти косинус кутів трикутника, а отже і самі кути, якщо відомі три сторони трикутника, за формулою .
Теорема косинусів дає можливість сформулювати важливі висновки.
1. Відомо, що гострий кут має додатний косинус, а тупий — від’ємний. Отже, квадрат сторони, яка лежить проти тупого кута, більший за суму двох інших сторін, а квадрат сторони, яка лежить проти гострого кута, менший, ніж сума двох інших сторін.
2. Якщо відомі три сторони трикутника, то можна зробити висновок про його вид (гострокутний, тупокутний, прямокутний). Для цього треба порівняти квадрат найбільшої сторони із сумами квадратів двох інших сторін. Якщо квадрат найбільшої сторони трикутника більший, ніж сума квадратів двох інших сторін, трикутник тупокутний, якщо величини рівні — прямокутний, якщо перша величина менша — гострокутний.
3. У випадку, коли трикутник прямокутний, теорема косинусів для сторони, що лежить проти прямого кута, перетворюється на тео­ре­му Піфагора.
4. Із теореми косинусів випливає, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін.
На рисунку .

5. Формула довжини медіани трикутника: у трикутнику, зображеному на рисунку, .

6. Формула довжини бісектриси трикутника: у трикутнику, зображеному на рисунку, .

7. Формула висоти трикутника: на рисунку нижче зліва зображена висота в гострокутному трикутнику, на рисунку справа — у тупокутному.


Теорема синусів

Теорема 1 (синусів). Сторони трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів. У трикутнику, зображеному на рисунку, за теоремою синусів маємо: .

Теорема 2. Якщо R — радіус кола, описаного навколо трикутника, то
, або ,
де a — сторона трикутника, а — протилежний цій стороні кут.
Теорема 3. У трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона, проти більшої сторони лежить більший кут.
Ця теорема обґрунтовує твердження 2 (висновок), що наведене після теореми коси­нусів.
Дійсно, вид трикутника можна визначити, записавши теорему косинусів для його найбільшої сторони, тому що протилежний кут буде найбільшим.А якщо в трикутнику є прямий чи тупий кут, то він є найбільшим.

Розв’язування трикутників

Розв’язування трикутників полягає у знаходженні невідомих сторін і кутів трикутника за відомими його сторонами та кутами.
Результати в таких задачах наближені, тому що для більшості значень кутів наближеними є значення їх синуса і косинуса.
Задача 1. Розв’язати трикутник за стороною й двома прилеглими кутами.
На рисунку в трикутнику дано: a; ; .
Знайти: ; b; c.

Розв’язання
1) (за теоремою про суму кутів трикутника).
2) За теоремою синусів:
.
Отже, , ,, .
Задача має розв’язання завжди, коли , причому цей розв’язок буде єдиним.
Задача 2. Розв’язати трикутник за двома сторонами й кутом між ними.
Дано: a; b; .
Знайти: c; ; .
Розв’язання
1) За теоремою косинусів:
;
.
2) За теоремою косинусів: .
За таблицями або за допомогою калькулятора знаходимо наближене значення .
3) За теоремою про суму кутів трикутника: .
Задача завжди має розв’язання, причому розв’язок буде єдиним.
Зверніть увагу: при розв’язанні задачі 2 для знаходження невідомих кутів можна користуватися теоремою синусів. Але тоді доцільно починати з того невідомого кута, який буде меншим, тобто лежить проти меншої сторони. Цей кут обов’язково буде гострим, тобто за значенням його синуса можна буде визначити єдине значення кута.
Задача 3. Розв’язати трикутник за двома сторонами й кутом, протилежним одній із цих сторін.
Дано: a; b; .
Знайти: c; ; .
Розв’язання
1) За теоремою синусів:
; .
За таблицями або за допомогою калькулятора знаходимо наближене значення .
Зверніть увагу: на цьому етапі можна одержати . Тоді задача не має розв’язків. Якщо за умовою , або , або , задача теж не має розв’язку.
Якщо ми отримаємо , задача матиме два розв’язки, тому що одне й те саме значення буде у двох кутів — тупого й гострого, які в сумі дають . (За тотожністю .) Подальше розв’язання тоді проводять окремо для кожного значення .
2) За теоремою про суму кутів трикутника:
.
3) За теоремою синусів:
; .
Задача 4. Розв’язати трикутник за трьома сторонами.
Дано: a; b; c. Знайти: , , .
Розв’язання
1) За теоремою косинусів:
; .
Знаходимо наближені значення і .
2) За теоремою про суму кутів трикутника: .
Задача не матиме розв’язків, якщо найбільша з даних сторін не менша за суми двох інших. В інших випадках задача має один розв’язок.
a name=emimg src=

Copyright © 2009-2017. All Rights Reserved.