Декартові координати та вектори в просторі

Декартові координати та вектори в просторі

Візьмемо три взаємно перпендикулярні прямі , Oy, Oz, які перетинаються в одній точці О (див. рисунок).

Проведемо через кожну пару цих прямих площину. Площина, яка проходить через прямі і , називається площиною Oxy. Дві інші площини називаються відповідно Oxz і Oyz.
Прямі Ox, Oy, Oz називаються координатними осями (Ox — вісь абсцис, Oy — вісь ординат, Oz — вісь аплікат).
Точка їх перетину Опочаток координат, площини Oxy, Oxz, Oyzкоординатні площини.
Точка О розбиває кожну з осей координат на дві півпрямі — півосі. Домовимось одну півось називати додатною, а другу — від’ємною.
Візьмемо тепер довільну точку А й проведемo через неї площину, паралельну площині Oyz. Вона перетинає вісь Ox у деякій точці . Координатою х точки А називається число, яке дорівнює за абсолютною величиною довжині від­різка . Це число додатне, якщо точка лежить на додатній півосі Оx, і від’ємне, якщо точка лежить на від’ємній півосі.
Якщо точка збігається з точкою О, то вважаємо, що . Аналогічно означаємо координати y і z точки A. Координати точки записуватимемо в дужках поряд із буквеним позначенням точки: .
Якщо точка A не належить жодній із координатних площин, то ці площини разом із трьома паралельними їм площинами, які проходять через точку А, обмежують прямокутний паралелепіпед.
Зверніть увагу на таке.
1) осі ; осі ; осі Oz (див. рисунок).

2)

Точка лежить на осі Ox Oy Oz
Її коор­ди­нати (x; 0; 0) (0; y; 0) (0; 0; z)
Точка ле­жить на площині Oxy Oyz Oxz
Її коор­ди­нати (x; y; 0) (0; y; z) (x; 0; z)

Для розв’язування задач координат­ним методом користуються формулою
, що визначає відстань між точками і .
Нехай — середина відрізка AB, де, Тоді ; ; .

Перетворення в просторі

Поняття перетворення для фігур у просторі означають так само, як і на площині (див. розділ «Геометрія. 8 клас»).
Рухом називається перетворення, при якому зберігаються відстані між точками.
Властивості руху в просторі:
Прямі переходять у прямі, півпрямі — у півпрямі, відрізки — у відрізки, кути між півпрямими зберігаються, площина переходить у площину.
Зразки рухів у просторі:
Симетрія відносно точки; симетрія відносно прямої; симетрія відносно площини (аналогічна симетрії відносно прямої).
Приклад
Дана точка .
Знайти точки, симетричні даній відносно координатних площин.
Відповідь: точка, симетрична точці А відносно Oху, — це , відносно Oyz — це , відносно Oxz — це .
Паралельним перенесенням у просторі називається таке перетворення, при якому довільна точка переходить у точку , де числа a, b, c — одні й ті самі для всіх точок .
Паралельне перенесення є рухом.
У результаті паралельного перенесення точки зміщуються вздовж паралельних прямих (або прямих, що збігаються) на одну й ту саму відстань.
1. У результаті паралельного перенесення кожна пряма переходить у паралельну їй пряму (або в себе).
2. Які б не були точки А і , існує єдине паралельне перенесення, у результаті якого точка А переходить у точку .
3. У результаті паралельного перенесення в просторі кожна площина переходить або в себе, або в паралельну їй площину.

Подібність просторових фігур

Перетворення фігури F називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюють себе в одну й ту саму кількість разів.
Як і на площині, перетворення подібності в просторі переводить прямі у прямі, півпрямі у півпрямі, відрізки у відрізки і зберігає кути між півпрямими. Перетворення подібності переводить площини у площини.
Аналогічно гомотетії на площині визначається гомотетія в просторі.
Гомотетія є перетворенням подібності.
Перетворення гомотетії у просторі пере­водить довільну площину, яка не проходить через центр гомотетії, у паралельну площину (або в себе, якщо ).
На рисунку: ;;
;.

Вектори в просторі

Усі основні означення векторів у просторі залишаються такими самими, як означення векторів на площині (див. розділ «Геометрія. 8 клас»).
Координатами вектора , де , , називають числа, , .
Вектори рівні тоді, й тільки тоді, коли вони мають відповідно рівні координати. Це дає підставу позначити вектор його координатами , або просто .
.
Дії над векторами в просторі позначають так само, як і на площині:

.
Діють і геометричні правила: правило трикутника, правило паралелограма, правило многокутника.
Так само доводиться, що , а напрям вектора збігається з напрямом , якщо , і протилежний напряму , якщо .
Зберігається поняття колінеарних векторів і його необхідна й достатня умова.
Скалярним добутком векторів і називається число .
Має місце теорема, за якою скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних величин і косинуса кута між векторами:
.
Для того щоб два вектори були перпендикулярними, необхідно й достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю.
Кожний вектор у просторі можна єдиним способом розкласти за трьома координатними векторами , і (див. рисунок).

Точка лежить на осі0images/stories/uroki/geom/sprav-ukr4861_fmt.jpeg

Copyright © 2009-2017. All Rights Reserved.