Многочлен

Многочлен

Многочленом називається сума кіль­кох одночленів.
Одночлени, які складають много­член, називаються його членами. Подібні доданки многочлена називають подібними членами многочлена.
Многочлен, що є сумою одночленів стандартного вигляду, серед яких немає подібних членів, називається многочленом стандартного вигляду.
Степенем многочлена стандартного вигляду називається степінь одночлена, який є найбільшим серед степенів од­ночленів, що утворюють даний многочлен.
Кожний многочлен є цілим виразом.
Додавання та віднімання многочленів виконують за правилами розкриття дужок та зведення подібних доданків.

Множення одночлена на многочлен

Щоб помножити одночлен на многочлен, треба одночлен помножити на кожний член многочлена й одержані добутки додати. Тобто множення одночлена на многочлен здійснюється на основі розподільної властивості множення.

Множення многочлена на многочлен

Щоб помножити многочлен на многочлен, досить кожний член одного многочлена помножити на кожний член другого многочлена й одержані добутки додати.
Приклади
1) Перетворіть вираз у многочлен стандартного вигляду.
а)

;
б)



.
2) Розв’яжіть рівняння.
,
,
,
,
,
.

Розкладання многочленів на множники

Розкласти многочлен на множники означає подати його як добуток кількох многочленів.

Винесення спільного множника за дужки

Спосіб розкладання многочлена на множники на основі розподільної властивості множення називається винесенням спільного множника за дужки.
Приклад
.
НСД . Це означає, що за дужки можна винести числовий множник 2. В обидва члени многочлена входить степінь a. Обираємо менший із показників степеня — число 3. Отже, за дужки винесемо . Аналогічно винесемо , .
Степінь d винести за дужки не можна, бо перший додаток не містить степенів d. Таким чином:

.
Отже, .
Щоб дізнатися, який вираз залишиться в дужках, треба кожний член даного многочлена поділити на спільний множник, що виходить за дужки, тобто
; .
Перевірити себе можна, якщо виконати множення спільного множника на многочлен у дужках.
Зверніть увагу на такий приклад:
.
У дужках має залишитися стільки доданків, скільки їх було в даному многочлені.
Спільний множник може бути не тільки одночленом, але й многочленом.
Приклади
;
.

Спосіб групування

Цей спосіб доцільно застосовувати, якщо члени многочлена можна об’єднати в групи членів так, щоб після винесення спільних множників у кожній групі в дужках залишився один і той же вираз, тобто спільний множник для всіх груп.
Приклади
1)
.
2) Знайти значення виразу:



.

Формули скороченого множення

формула різниці квадратів.
Добуток різниці двох виразів і їх суми дорівнює різниці квадратів цих виразів.
формула квадрата суми.
Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток цих виразів і плюс квадрат другого виразу.
формула квадрата різниці.
Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток цих виразів і плюс квадрат другого ­виразу.
формула куба суми.
Куб суми двох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс потроєний добуток квадрата першого виразу і другого плюс потроєний добуток першого виразу і квадрата другого плюс куб другого виразу.
формула куба різниці. (Читається аналогічно попе­редній формулі.)
формула суми кубів.
Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів і неповного квадрата їх ­різниці.
формула різниці кубів.
Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і неповного квадрата їх суми.
Формули скороченого множення застосовуються для тотожних перетворень, зокрема для розкладання многочленів на множники.
Приклади
1) Спростити вирази:
а)
;
б)

.
2) Розв’язати рівняння:
а) ,
,
,
, ;
б) ,
,
або ,
або .
3) Розкласти на множники:
а) ;
б) ;
в)


.
4) Знайти найменше значення виразу:

.
Враховуючи, що для будь-яких значень х, одержуємо, що для будь-яких значень х. Найменше значення дорівнює 0, якщо . Отже, найменше значення дорівнює 2 при .

Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники

Щоб розкласти многочлен на множники, бажано діяти в такій послідовності.
1. З’ясувати, чи можна винести за дужки спільний множник. Зробити це, якщо можна.
2. Розглянути, чи можна вираз, який залишився в дужках (або даний), розкласти на множники за формулами скоро­ченого множення.
3. Спробувати застосувати спосіб групу­вання.
Треба пам’ятати, що розкладання на множники можна вважати закінченим тільки тоді, коли ніякий з отриманих множників не можна далі розкладати на множники.
Приклади
1) ;
2)
;
3)
;
4)
.
,

Copyright © 2009-2017. All Rights Reserved.