Тригонометричні функції

Тригонометричні функції

Розглянемо одиничне (тригонометричне) коло, центр якого розташований у точці і радіус якого дорівнює 1 (див. рисунок).

Нехай точка P0 — це точка (1; 0). Кожну іншу точку кола можна дістати поворотом P0 навколо початку координат. Будемо вважати від’ємним напрямок повороту за годинниковою стрілкою, додатним — проти.
Точку, яку дістанемо поворотом P0 навколо початку координат на кут , назвемо . Очевидно, що значення можуть бути від до , причому кути, міри яких відрізняються на , , дають на колі одну й ту саму точку. Наприклад:
, .
Введемо означення:
; ;
; .
Значення , , , залежить тільки від кута .
Для ці означення дають той самий результат, що й означення за допомогою елементів прямокутного трикутника.
Якщо означення , , , уведені таким чином, то очевидно, що ми дістали числові функції. Дійсно, кожному значенню відповідає єдине значення і . Також кожному дійсному значенню , , відповідає єдине значення і кожному значенню ,, відповідає єдине значення .
Проведемо дотичну t до одиничного кола в точці (див. рисунок нижче). Вона називається лінією тангенсів, тому що ордината точки перетину прямої із прямою t дорівнює тангенсу кута
.

Проведемо дотичну q до одиничного кола в точці (див. рисунок на с. 73). Для довільного числа ,, абсциса точки перетину прямої з прямою q дорівнює котангенсу кута . Тому пряма q називається лінією котангенсів.

 

Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .
Основою для виведення решти формул є формули додавання:
;
;
;
;
;
.

Формули зведення

Формули зведення допомагають виразити значення тригонометричних функцій кутів вигляду , ,, через функції кута (табл. 1). Відповідні формули легко запам’ятати, користуючись такими правилами:
1) якщо аргумент функції має вигляд або , назва функції змінюється на кофункцію (синус на косинус, тангенс на котангенс і навпаки), а якщо аргумент має вигляд , , назва функції не змінюється;
2) перед утвореною функцією ставиться той знак, який має початкова функція, якщо — кут у І чверті.
Використовуючи ці формули, а також періодичність тригонометричних функцій (див. нижче) можна значення тригонометричної функції довільного кута звести до значення функції гострого кута.

Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій

;
;
;
;
;
.

Формули перетворення добутку тригонометричних функцій на суму

;
;
.

Формули подвійного аргументу

;
;
;
;
.

Формули половинного аргументу

; ;
; .

Формули перетворення синуса і косинуса кута через тангенс половини цього кута

; ;
.

Copyright © 2009-2017. All Rights Reserved.