Школьник Украины

АРИФМЕТИКА

Натуральные   числа —   это   те   числа,  которые   возникают в процессе счета, целые положительные числа 1, 2, 3,.. Ряд таких чисел  является  бесконечным и  называется  натуральным  рядом. Положительное  число — это  число больше нуля.  Отрицательные числа  появляются  при вычитании большего  числа из меньшего. Целые числа — это натуральные числа и ноль: 0, 1, 2, 3, 4, 5… Арифметические операции

Сложение
   —   это   операция   нахождения   суммы   двух   или нескольких чисел, где под суммой понимается общее количество единиц,  содержащихся  в  рассматриваемых  числах вместе.  Эти числа называются  слагаемыми. Например:  5 + 6 = 11, где 5 и 6 — слагаемые, 11 — сумма.
Вычитание — это  действие, обратное к сложению, так  как  это операция  нахождения  одного  из слагаемых по  сумме  и другому слагаемому.  Вычесть  из  одного   числа  (уменьшаемого)   другое (вычитаемое) — значит найти такое третье число (разность), которое при сложении с вычитаемым  дает уменьшаемое: 11 — 6 = 5. Здесь 11 — уменьшаемое, 6 — вычитаемое, 5 — разность. Умножение.  Умножить   одно  число a  (множимое)  на  другое целое  число   b  (множитель)  —   значит   повторить   множимое a в качестве  слагаемого b раз. Результат  умножения  называется произведением.
Например: 2 х 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8. Деление является действием, обратным к умножению. Разделим одно число (делимое)  на другое (делитель) и найдем такое третье число (частное), которое при умножении на делитель дает делимое:
8 : 4 = 2. Возведение  в  степень.   Возвести   число  (основание   степени) в целую степень  (показатель степени)  —  значит  повторить  его сомножителем столько  раз, каков показатель  степени.  Результат операции называется степенью.
Например:
  Извлечение  корня является действием, обратным к возведению в степень,  так  как  это  операция нахождения  основания степени по степени  и ее показателю. Извлечь корень  k-ой  степени  (k — показатель корня) из числа a (подкоренное число) — значит найти третье число, k-ая степень которого  равна а. Результат называется корнем. Например:
. Сложение и вычитание,  умножение  и деление,  возведение в степень и извлечение корня являются попарно взаимно-обратными операциями.
Результат выполнения нескольких операций зависит от порядка действий. Рассмотрим следующий пример: 10 – 6 + 4 = 8, но если сначала сложить 6 и 4, а затем вычесть полученный результат из 10, то получим 0. Таким  образом, можно сделать следующий вывод: для  получения правильного результата  должен быть  установлен определенный порядок действий. Для того чтобы указать, в каком порядке  должны  выполняться  действия,  пользуются скобками. Если скобки  отсутствуют,  действия выполняются в следующем порядке:
1)  возведение в степень и извлечение корня  (в порядке их следо- вания);
2)  умножение и деление (в порядке их следования);
3)  сложение и вычитание (в порядке их следования).
При наличии скобок сначала выполняются действия в скобках в указанном  выше порядке,  а затем все остальные действия вне скобок с соблюдением указанного выше порядка. Законы сложения и умножения
Переместительный (коммутативный) закон сложения:
m+n=n+m.
Переместительный (коммутативный) закон умножения:
m х n=n х m.
Сочетательный (ассоциативный) закон сложения: (m+n)+k=m+(n+k)=m+n+k.
Сочетательный (ассоциативный) закон умножения: (m х n) х k=m х (n х k)=m х n х k.
Распределительный    (дистрибутивный)     закон     умножения относительно сложения: (m+n) х k=m х k+n х k. Признаки делимости:
1)  на 2: если последняя цифра  числа — ноль или  делится на  2.
Числа,  делящиеся на два, называются  четными, не делящиеся на два — нечетными;
2)  на 4: если две последние цифры  числа — нули или  образуют число, которое делится на 4;
3)  на 8: если три последние цифры  числа — нули или  образуют число, которое делится на 8;
4)  на 3 и 9:  число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3.
Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9;
5)  на 6: если число делится на 2 и на 3;
6)  на 5: число делится на 5, если его последняя цифра — ноль или 5;
7)  на 25: если две последние цифры числа — нули или  число, которое делится на 25;
8)  на 10: если последняя цифра числа — ноль;
9)  на 100: если две последние цифры — нули;
10) на 11: это только те числа, у которых  сумма цифр, стоящих на нечетных  местах, либо равна сумме цифр, стоящих  на четных местах, либо отличается от нее на число, делящееся на 11. Все  целые числа (кроме  0 и 1) имеют минимум два делителя:
1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными) числами.
Общим делителем нескольких чисел называется число, которое является делителем каждого из них. Например,  рассмотрим числа 36, 42, 72. Среди всех общих делителей всегда есть наибольший. Чтобы   найти  наибольший  общий  делитель  (НОД)  нескольких чисел необходимо выполнить следующие действия:
1)  представить каждое число как произведение его простых  множителей, в нашем случае:
36=2х2х3х3;
42=2х3х7;
72=2х2х2х3х3;
2)  записать степени всех простых  множителей:

3)  выписать все общие делители (множители) этих чисел: 2 и 3;
4) выбрать наименьшую  степень каждого из них, встретившуюся во всех произведениях: 
5) перемножить эти степени:  Таким  образом, числа 36, 42 и 72 имеют общие делители 2, 3 и 6. Наибольший общий делитель (НОД) в этом случае равен 6.
Общим кратным нескольких чисел называется  число, которое делится на каждое из этих чисел. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее (НОК). Рассмотрим  числа 18, 27 и 45. Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел:
1)  представить каждое число как произведение его простых  мно- жителей, например:
18=2х3х3;
27=3х3х3;
45=3х3х5;
2)  записать степени всех простых  множителей:

3)  выписать все простые  делители (множители) каждого из этих чисел: 2, 3, 5;
4)  выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел: 
5)  перемножить эти степени: 
Таким образом, 270 — НОК.
Press enter to search
Press enter to search