Школьник Украины

ДРОБИ

Часть  единицы или  несколько ее частей называют простой или обыкновенной дробью. Количество равных частей,  на которые де- лится единица, называется знаменателем, а количество взятых ча- стей — числителем. Дробь записывается в виде:
В данном случае а — числитель, b — знаменатель.
Если   числитель меньше   знаменателя,   то   дробь   меньше 1 и называется правильной дробью. Если числитель больше знаменателя, то  дробь больше 1,  тогда  дробь называется  неправильной.
Если числитель и знаменатель дроби равны,  то  дробь  равна
1. Если числитель можно разделить  на знаменатель, то эта дробь равна частному  от деления: В случае если деление выполняется с остатком, то эта неправиль- ная дробь может быть представлена смешанным числом, например:
 
Тогда  9 — неполное частное  (целая часть смешанного числа), 1 — остаток (числитель дробной части), 5 — знаменатель. Для того чтобы обратить смешанное  число в дробь, необходимо умножить целую часть смешанного  числа на знаменатель и прибавить числитель дробной  части.  Полученный  результат будет  числителем обыкновенной  дроби, а знаменатель останется  прежним. Действия с дробями
Расширение  дроби.  Значение  дроби не  меняется,  если  умножить ее числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля.
Например:
Сокращение дроби. Значение  дроби не меняется,  если разде- лить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля.
Например,
Сравнение дробей. Из двух дробей с одинаковыми числителями та больше, знаменатель которой меньше:
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та больше, чис- литель которой больше:
Для сравнения  дробей,  у  которых   числители и  знаменатели различны, необходимо расширить их, то есть привести к общему знаменателю. Рассмотрим,  например, следующие дроби:
             Сложение  и вычитание дробей. Если знаменатели дробей оди- наковы,  то для того чтобы сложить дроби, необходимо сложить их  числители, а для того  чтобы  вычесть  дроби, надо  вычесть их числители. Полученная сумма или  разность  будет  числите- лем результата, а знаменатель останется  прежним. Если знаме- натели дробей различны, необходимо сначала  привести дроби к общему знаменателю. При сложении смешанных чисел их це- лые и дробные части  складываются  отдельно. При  вычитании смешанных чисел сначала необходимо преобразовать их к виду неправильных дробей,  затем вычесть  из одной другую,  а после этого вновь привести результат, если требуется  к виду смешан-  ного числа.
Умножение дробей. Для перемножения дробей необходимо перемножить  отдельно их числители и знаменатели и  разделить первое произведение на второе.
Деление дробей. Для того чтобы разделить  некоторое число на дробь, необходимо умножить это число на обратную дробь.
Десятичная  дробь — это  результат деления   единицы на  де- сять,  сто,  тысячу  и т.  д. частей.  Сначала пишется  целая  часть числа, затем справа ставится  десятичная  точка.  Первая  цифра после десятичной точки означает число десятых, вторая — число сотых,  третья — число тысячных и т. д. Цифры, расположенные после десятичной точки, называются десятичными знаками, например:    
Свойства десятичных дробей
1. Десятичная  дробь не меняется,  если справа добавить нули: 4,5 = 4,5000.
2. Десятичная  дробь не меняется,  если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби: 0,0560000 = 0,056.
3.  Десятичная  дробь возрастает в 10, 100, 1000 и т. д. раз, если перенести  десятичную  точку  на  одну,  две, три  и т.  д. позиции вправо: 4,5     45 (дробь возросла в 10 раз).
4.  Десятичная  дробь уменьшается  в 10, 100, 1000 и т.  д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т. д. позиции влево: 4,5     0,45 (дробь уменьшилась в 10 раз).
Периодическая  десятичная дробь содержит бесконечно  повторяющуюся группу цифр, называемую периодом: 0,321321321321…=0,(321)
Действия с десятичными дробями
Сложение  и  вычитание  десятичных  дробей выполняются  так же, как  и сложение и вычитание целых чисел, необходимо только записать соответствующие десятичные знаки один под другим. Например,

Умножение десятичных дробей проводится в несколько этапов:
1)  перемножаем десятичные дроби как целые числа, не принимая во внимание десятичную точку;
2)  применяется  правило:  количество десятичных  знаков в произведении равно сумме десятичных знаков во всех сомножителях.

  .
Сумма чисел десятичных знаков в сомножителях равна: 2+1=3. Теперь необходимо с конца получившегося числа отсчитать 3 зна- ка и поставить десятичную точку: 0,675.
Деление десятичных дробей. Деление  десятичной  дроби на це- лое число: если делимое меньше делителя, тогда нужно записать ноль в целой части частного  и поставить  после него десятичную точку.  Затем,  не принимая во внимание десятичную точку  дели- мого, присоединить к его целой части следующую цифру дробной части и опять сравнить полученную целую часть делимого  с дели- телем. Если новое число опять  меньше делителя, надо повторить операцию. Этот процесс повторяется до тех пор, пока полученное делимое не станет  больше делителя. После этого  деление выпол- няется, как для целых чисел. Если делимое больше делителя или  равно ему, сначала делим  его целую часть,  записываем результат деления в частном  и ставим десятичную  точку.  После этого деле- ние продолжается, как в случае целых чисел.
Деление  одной десятичной  дроби на другую: сначала перено- сятся  десятичные  точки  в делимом  и делителе на число десятич- ных  знаков  в делителе, то  есть  делаем  делитель  целым числом, и выполняются действия, описанные выше.
Для того  чтобы  обратить десятичную  дробь в обыкновенную, необходимо в качестве числителя взять число, стоящее после де- сятичной точки,  а в качестве знаменателя взять k-ую  степень де- сяти (k — количество десятичных знаков). Отличная от нуля целая часть  сохраняется   в обыкновенной   дроби; нулевая  целая  часть опускается. Например:
 
Для того  чтобы  обратить обыкновенную дробь в десятичную, надо разделить  числитель на знаменатель в соответствии с правилами  деления.
Процент — это сотая часть единицы, например: 5% означает 0,05. Отношение — это частное от деления  одного числа на другое. Пропорция — это равенство двух отношений.  Например:
Основное  свойство  пропорции:  произведение крайних  членов пропорции равно произведению ее средних членов, то есть 5х30=6х25. Две взаимно зависимых величины называются  про- порциональными, если отношение  их величин  сохраняется  неиз- менным (коэффициент пропорциональности).
Таким   образом,  выявлены  следующие  арифметические  действия: Множество рациональных чисел включает в себя положительные и отрицательные числа (целые и дробные) и ноль. Более точное  определение  рациональных чисел,  принятое  в математике, следующее: число называется рациональным, если оно может быть представлено в виде обыкновенной  несократимой дроби вида:
где a и b целые числа. Для отрицательного числа абсолютная величина (модуль) — это положительное число, получаемое от перемены его знака с «—» на «+»; для положительного числа и нуля — само это число. Для обозначения  модуля числа используются две прямые  черты,  внутри которых  записывается это число, например: |–5|=5. Свойства абсолютной величины Пусть дан модуль числа
  для которого  справедливы  свойства:
Одночлен
— это произведение двух или  нескольких сомножите- лей, каждый из которых  либо число, либо буква, либо степень бук- вы: 3 х a х b. Коэффициентом чаще всего называют лишь числовой множитель. Одночлены называются  подобными,  если они одина- ковы  или   отличаются лишь  коэффициентами.   Степень  одноч- лена — это сумма показателей степеней  всех его букв. Если среди суммы одночленов есть подобные, то сумма может быть приведена к более  простому виду: 3 х a х b + 6 х a = 3 х a х (b + 2). Эта операция на- зывается приведением подобных членов или вынесением за скобки.
 
Многочлен — это  алгебраическая сумма одночленов.  Степень многочлена есть наибольшая из степеней  одночленов, входящих в данный многочлен.
Существуют следующие формулы сокращенного умножения:
Методы разложения на множители:
1)  вынесение одного множителя за скобки: ac + bc = (a + b)c.
2)  использование  формул сокращенного умножения.
3)  использование  формулы разложения квадратного трехчлена на
где x1, x2 — корни квадратного трехчлена 4)  использование  теоремы Безу.
Алгебраическая дробь — это выражение вида
где A и B могут быть числом, одночленом, многочленом.
Если два выражения (числовые и буквенные)  соединены зна- ком «=»,  то говорят,  что  они образуют  равенство. Любое  верное равенство, справедливое при всех допустимых числовых значени- ях входящих в него букв, называется тождеством.
Уравнение  — это  буквенное  равенство,  которое  справедливо при определенных значениях  входящих в него  букв.  Эти  буквы называются  неизвестными  (переменными), а их  значения,  при которых  данное уравнение обращается  в тождество,  — корнями уравнения.
Решить  уравнение — значит найти все его корни. Два или  несколько уравнений называются  равносильными, если они имеют одни и те же корни.


 
 
1)  ноль являлся корнем уравнения;
2)  уравнение имело только конечное число корней.
Основные типы алгебраических уравнений:
1)  линейное: ax + b = 0;
2)  квадратное: ax2  + bx + c = 0, a х 0;
3)  биквадратное: ax4  + bx2 + c = 0, a х 0;
4)  двучленное уравнение n-го порядка: xn = a, n   N;
5)  возвратное:
а)  третьего порядка: ax3  + bx2 + bx + a = 0, a,b ? 0;
б)  четвертого порядка: ax4  + bx3 + cx2 ± bx + a = 0, a,b ? 0
6)  однородное уравнение второго порядка:
af2(x) + bf(x)g(x) + cg2(x) =0, a х 0, b2 + c2 > 0;
7)  уравнение вида: f(x)g(x) = 0;
8)  уравнение вида:      

9)  уравнение вида: f(?(x)) = 0.
 
У линейного уравнения ax + b = 0:
1)  если a х 0, имеется единственный корень x = —b/a;
2)  если a = 0, b ? 0, нет корней;
3)  если  a = 0, b = 0, корнем  является любое  действительное число.
Уравнение xn = a, n   N:
1) если n — нечетное число, имеет при любом а действительный корень, равный     ;
2) если n — четное число, то при a < 0 не имеет корней, при а = 0 имеет единственный корень x = 0, если а > 0, то имеет два корня Основные тождественные преобразования: замена одного выра- жения другим, тождественно равным ему; перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками; умножение или  деление  обеих частей  уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля.
Линейным  уравнением с одним неизвестным называется урав- нение вида: ax+b=0, где a и b — известные числа, а x — неизвестная величина.
Системы   двух  линейных  уравнений  с  двумя  неизвестными имеют вид:
 
где a, b, c, d, e, f — заданные числа; x, y — неизвестные.
Числа a, b, c, d — коэффициенты при неизвестных; e, f — свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными методами: метод подстановки: из одного уравнения выражаем одно из неизвестных через коэффициенты и другое неизвестное, а затем подставляем во второе уравнение, решая последнее уравнение, находим сначала одно неизвестное, затем подставляем найденное значение в первое уравнение и находим второе неизвест- ное; метод сложения или вычитания одного уравнения из другого. Операции с корнями:
Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного чис-ла a называется неотрицательное число, n-я степень которого рав-на a. Алгебраическим корнем n-й степени из данного числа называ-ется множество всех корней из этого числа.
Иррациональные числа  в отличие от  рациональных не  могут быть  представлены  в виде обыкновенной   несократимой  дроби вида m/n, где m и n — целые числа. Это числа нового типа, которые могут быть вычислены с любой точностью, но не могут быть заменены рациональным числом. Они могут появиться как результат геометрических  измерений, например: отношение  длины диагонали квадрата к длине  его стороны равно    .
Квадратное  уравнение есть  алгебраическое уравнение второй степени ax2+bx+c=0, где a, b, c — заданные числовые или  буквен- ные коэффициенты, x — неизвестное. Если разделить  все члены этого  уравнения на а,   в результате получим x2+px+q=0 — приве- денное уравнение p=b/a, q=c/a. Его  корни находятся по формуле:
Если  b2—4ac>0,   тогда  имеются   два  различных  корня,   b2— 4ac=0, тогда имеются два равных корня;  b2—4ac<0,  тогда имеются два комплексных корня.  Выражение b2—4ac называется дис- криминантом и обозначается через D. Уравнения, содержащие модули
Основные типы уравнений, содержащие модули:
1)  |f(x)| = |g(x)|;
2)  |f(x)| = g(x);
3)  f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + ... + fn(x)|gn(x)| =0,  n    N, где f(x), g(x), fk(x), gk(x) — заданные функции. Иррациональные уравнения

Основные типы иррациональных уравнений:
Решение иррациональных уравнений
Уравнение f(x) = g(x) равносильно системе



Press enter to search
Press enter to search