
Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше 1 и называется правильной дробью. Если числитель больше знаменателя, то дробь больше 1, тогда дробь называется неправильной.
Если числитель и знаменатель дроби равны, то дробь равна
1. Если числитель можно разделить на знаменатель, то эта дробь равна частному от деления:


Тогда 9 — неполное частное (целая часть смешанного числа), 1 — остаток (числитель дробной части), 5 — знаменатель. Для того чтобы обратить смешанное число в дробь, необходимо умножить целую часть смешанного числа на знаменатель и прибавить числитель дробной части. Полученный результат будет числителем обыкновенной дроби, а знаменатель останется прежним. Действия с дробями
Расширение дроби. Значение дроби не меняется, если умножить ее числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля.
Например:

Например,





Умножение дробей. Для перемножения дробей необходимо перемножить отдельно их числители и знаменатели и разделить первое произведение на второе.
Деление дробей. Для того чтобы разделить некоторое число на дробь, необходимо умножить это число на обратную дробь.
Десятичная дробь — это результат деления единицы на де- сять, сто, тысячу и т. д. частей. Сначала пишется целая часть числа, затем справа ставится десятичная точка. Первая цифра после десятичной точки означает число десятых, вторая — число сотых, третья — число тысячных и т. д. Цифры, расположенные после десятичной точки, называются десятичными знаками, например:

1. Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули: 4,5 = 4,5000.
2. Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби: 0,0560000 = 0,056.
3. Десятичная дробь возрастает в 10, 100, 1000 и т. д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т. д. позиции вправо: 4,5 45 (дробь возросла в 10 раз).
4. Десятичная дробь уменьшается в 10, 100, 1000 и т. д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т. д. позиции влево: 4,5 0,45 (дробь уменьшилась в 10 раз).
Периодическая десятичная дробь содержит бесконечно повторяющуюся группу цифр, называемую периодом: 0,321321321321…=0,(321)
Действия с десятичными дробями
Сложение и вычитание десятичных дробей выполняются так же, как и сложение и вычитание целых чисел, необходимо только записать соответствующие десятичные знаки один под другим. Например,

Умножение десятичных дробей проводится в несколько этапов:
1) перемножаем десятичные дроби как целые числа, не принимая во внимание десятичную точку;
2) применяется правило: количество десятичных знаков в произведении равно сумме десятичных знаков во всех сомножителях.

.
Сумма чисел десятичных знаков в сомножителях равна: 2+1=3. Теперь необходимо с конца получившегося числа отсчитать 3 зна- ка и поставить десятичную точку: 0,675.
Деление десятичных дробей. Деление десятичной дроби на це- лое число: если делимое меньше делителя, тогда нужно записать ноль в целой части частного и поставить после него десятичную точку. Затем, не принимая во внимание десятичную точку дели- мого, присоединить к его целой части следующую цифру дробной части и опять сравнить полученную целую часть делимого с дели- телем. Если новое число опять меньше делителя, надо повторить операцию. Этот процесс повторяется до тех пор, пока полученное делимое не станет больше делителя. После этого деление выпол- няется, как для целых чисел. Если делимое больше делителя или равно ему, сначала делим его целую часть, записываем результат деления в частном и ставим десятичную точку. После этого деле- ние продолжается, как в случае целых чисел.
Деление одной десятичной дроби на другую: сначала перено- сятся десятичные точки в делимом и делителе на число десятич- ных знаков в делителе, то есть делаем делитель целым числом, и выполняются действия, описанные выше.
Для того чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, необходимо в качестве числителя взять число, стоящее после де- сятичной точки, а в качестве знаменателя взять k-ую степень де- сяти (k — количество десятичных знаков). Отличная от нуля целая часть сохраняется в обыкновенной дроби; нулевая целая часть опускается. Например:

Для того чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, надо разделить числитель на знаменатель в соответствии с правилами деления.
Процент — это сотая часть единицы, например: 5% означает 0,05. Отношение — это частное от деления одного числа на другое. Пропорция — это равенство двух отношений. Например:

Таким образом, выявлены следующие арифметические действия:




Многочлен — это алгебраическая сумма одночленов. Степень многочлена есть наибольшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен.
Существуют следующие формулы сокращенного умножения:

1) вынесение одного множителя за скобки: ac + bc = (a + b)c.
2) использование формул сокращенного умножения.
3) использование формулы разложения квадратного трехчлена на

Алгебраическая дробь — это выражение вида

Если два выражения (числовые и буквенные) соединены зна- ком «=», то говорят, что они образуют равенство. Любое верное равенство, справедливое при всех допустимых числовых значени- ях входящих в него букв, называется тождеством.
Уравнение — это буквенное равенство, которое справедливо при определенных значениях входящих в него букв. Эти буквы называются неизвестными (переменными), а их значения, при которых данное уравнение обращается в тождество, — корнями уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни. Два или несколько уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же корни.



1) ноль являлся корнем уравнения;
2) уравнение имело только конечное число корней.
Основные типы алгебраических уравнений:
1) линейное: ax + b = 0;
2) квадратное: ax2 + bx + c = 0, a х 0;
3) биквадратное: ax4 + bx2 + c = 0, a х 0;
4) двучленное уравнение n-го порядка: xn = a, n N;
5) возвратное:
а) третьего порядка: ax3 + bx2 + bx + a = 0, a,b ? 0;
б) четвертого порядка: ax4 + bx3 + cx2 ± bx + a = 0, a,b ? 0
6) однородное уравнение второго порядка:
af2(x) + bf(x)g(x) + cg2(x) =0, a х 0, b2 + c2 > 0;
7) уравнение вида: f(x)g(x) = 0;
8) уравнение вида:

9) уравнение вида: f(?(x)) = 0.
У линейного уравнения ax + b = 0:
1) если a х 0, имеется единственный корень x = —b/a;
2) если a = 0, b ? 0, нет корней;
3) если a = 0, b = 0, корнем является любое действительное число.
Уравнение xn = a, n N:
1) если n — нечетное число, имеет при любом а действительный корень, равный ;
2) если n — четное число, то при a < 0 не имеет корней, при а = 0 имеет единственный корень x = 0, если а > 0, то имеет два корня Основные тождественные преобразования: замена одного выра- жения другим, тождественно равным ему; перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками; умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля.
Линейным уравнением с одним неизвестным называется урав- нение вида: ax+b=0, где a и b — известные числа, а x — неизвестная величина.
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:

где a, b, c, d, e, f — заданные числа; x, y — неизвестные.
Числа a, b, c, d — коэффициенты при неизвестных; e, f — свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными методами: метод подстановки: из одного уравнения выражаем одно из неизвестных через коэффициенты и другое неизвестное, а затем подставляем во второе уравнение, решая последнее уравнение, находим сначала одно неизвестное, затем подставляем найденное значение в первое уравнение и находим второе неизвест- ное; метод сложения или вычитания одного уравнения из другого. Операции с корнями:

Иррациональные числа в отличие от рациональных не могут быть представлены в виде обыкновенной несократимой дроби вида m/n, где m и n — целые числа. Это числа нового типа, которые могут быть вычислены с любой точностью, но не могут быть заменены рациональным числом. Они могут появиться как результат геометрических измерений, например: отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны равно .
Квадратное уравнение есть алгебраическое уравнение второй степени ax2+bx+c=0, где a, b, c — заданные числовые или буквен- ные коэффициенты, x — неизвестное. Если разделить все члены этого уравнения на а, в результате получим x2+px+q=0 — приве- денное уравнение p=b/a, q=c/a. Его корни находятся по формуле:

Основные типы уравнений, содержащие модули:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + ... + fn(x)|gn(x)| =0, n N, где f(x), g(x), fk(x), gk(x) — заданные функции.

Основные типы иррациональных уравнений:


Уравнение f(x) = g(x) равносильно системе
