Школьник Украины

НЕРАВЕНСТВА

Теорема Виета. Сумма  корней  приведенного квадратного  урав- нения  равна  коэффициенту  при  первой  степени   неизвестного, взятому с обратным знаком: x1+x2=—p, а произведение равно свободному члену: x1*x2=q. Два выражения (числовые или буквенные), соединенные одним из знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше
или равно» (>) , «меньше или равно» ( < ) образуют неравенство. Два неравенства,  содержащие одни и те же неизвестные,  называются равносильными, если они справедливы при одних и тех же значениях этих неизвестных.  Такое  же определение  используется для равносильности двух систем неравенств. Неравенства могут быть алгебра- ическими (содержащими только многочлены) и трансцендентными (например, логарифмическими или тригонометрическими). Доказательство неравенств. Существует несколько методов доказательства неравенств.
1)  использование  известного или ранее доказанного неравенства.
2)  оценка знака разности между частями неравенства.
3)  доказательство от противного.
4)  метод неопределенного неравенства. Неравенство  называется неопределенным, если у него знак  или, то есть когда неизвестно, в какую  сторону  следует повернуть этот знак,  чтобы получить справедливое неравенство. В этом случае действуют те же правила, что и с обычными неравенствами.
Решить  неравенство — значит найти границы,  внутри которых должны находиться неизвестные, так чтобы неравенство было справедливым.  Решить  систему  неравенств  — значит  найти  границы, внутри которых  должны находиться неизвестные, так чтобы все не- равенства, входящие в систему, были справедливы одновременно.
Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое из них, и совместить их решения. Это  совмещение приводит к одному из двух возможных случаев: либо система имеет решение, либо нет. Основные типы алгебраических  неравенств:
1)  линейное: ax + b < 0;
2)  квадратное: ax2  + bx + c < 0, a ? 0;
3)  двучленное xn < a, n = 2,3,.. ;
4)  неравенство вида: f(x)g(x) < 0; 5)  неравенство вида:  

где f(x) и g(x) — заданные рациональные функции. Основные свойства неравенств
1.  Если a<b, то b>a ; или  если a>b, то b<a.
2.  Если a>b, то a+c>b+c; или  если a<b, то a+c<b+c.
3.  Если a>b и c>d, то a+c>b+d.
4.  Если a>b   и  c<d,   то  a—c>b—d.  Или  если a<b   и  c>d,   то a—c<b—d.
 5.  Если a>b и m>0, то ma>mb и a/m>b/m.
6.  Если a>b и m<0, то ma<mb и a/m<b/m. Некоторые важные неравенства

Неравенства, содержащие модули
Основные типы неравенств, содержащих модули:
Иррациональные неравенства
Основные типы иррациональных неравенств

  Свойства  иррациональных неравенств
Системы  неравенств

Неравенство типа

равносильно совокупности
Показательные неравенства
Основные типы показательных неравенств
Решение неравенств
Решением неравенства ax + b < 0 является:
1)  если a > 0,  то  x < —b/a;
2)  если a < 0, то x > —b/a;
3)  если a = 0, то при b > 0 — пустое множество, а при b < 0 — множество действительных чисел.

Множество  значений  a, при которых  неравенство f(x)  < a не имеет решений,  состоит  из всевозможных  точек  числовой прямой, лежащих левее множества значений функции  f(x).
Множество значений a, при которых  неравенство f(x) < a спра- ведливо для любых x   D(f), состоит из всевозможных точек числовой прямой, лежащих правее множества значений функции f(x).
Последовательности.  Рассмотрим  ряд натуральных чисел 1, 2, 3, … , n—1, n… Если в этом ряду заменить каждое число n некоторым числом an, тогда получим новый ряд чисел: a1, a2,…, …an-1, an…, называемый числовой последовательностью. Число an  называется общим членом числовой последовательности.
Числовая последовательность, каждый член которой,  начиная со второго,  равен предыдущему,  сложенному с постоянным для  этой последовательности числом b, называется арифметической прогрессией. Число b называется разностью  прогрессии. Любой член ариф- метической   прогрессии  вычисляется  по  формуле:  an=a1+d(n—1). Сумма  n первых членов арифметической  прогрессии  вычисляется так:
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q, называется геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем прогрессии. Любой член гео n-1 метрической прогрессии вычисляется по формуле bn = b1q
 Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется, как:
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это гео- метрическая прогрессия,  у которой |q|<1. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической  прогрессии вычисляется по формуле:
Логарифмом  положительного числа  a  по  основанию  b  (b>0, b =1) называется показатель степени x, в которую  нужно возвести b, чтобы получить a: log a = x. Это равнозначно следующему: bx=a.
Вышеприведенное   определение   логарифма  можно  записать в виде тождества: blogba = a  = a.
Основные свойства логарифмов:
Десятичным  логарифмом называется  логарифм по основанию 10 (обозначается  lg). Натуральным  логарифмом называется логарифм по основанию  е (обозначается  ln). Число е является  иррациональным, его приближенное значение 2,718281828.

Press enter to search
Press enter to search