Производной функции y = f(x) называется такая новая функция, которая при каждом значении независимой переменной x равна пределу отношения приращения y функции к приращению
x независимой переменной x при произвольном стремлении
x к нулю:
Геометрический смысл производной. Значение производной
Механический смысл производной. Мгновенная скорость нерав- номерного прямолинейного движения есть производная от функции, выражающей зависимость пройденного пути S от времени t:
Правила дифференцирования (u, v, w — функции аргумента x, по которому проводится дифференцирование).
Производная произведения:
Производная частного (дроби):
Производная сложной функции:


Уравнение касательной к графику функции y = f(x) имеет вид:

Возрастание и убывание функций (достаточный признак). Если производная данной функции существует и положительна (от-рицательна) для всех значений x в интервале (a,b), то функция в этом интервале возрастает (соответственно, убывает).
Максимумы и минимумы функции. Точка x = x0 называется точ- кой (относительного) максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех значений x из этой окрест- ности выполняется неравенство f(x) < f(x0).
Точка x = x0 называется точкой (относительного) минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки x0, что для всех значений x из этой окрестности выполняется неравенство f(x) > f(x0). Для максимума и минимума функции, а также для значе- ний функции в граничных точках ее области определения существует общее название — экстремум.
Необходимый признак существования максимума или минимума функции. В точках максимума и минимума функций y = f(x) ее производная f '(x) (если она существует в этих точках) обращается в нуль: f '(x) = 0.
Замечание 1. Не при всяком значении x0, для которого произ-водная f '(x) равна нулю (f '(x) = 0), функция f(x) имеет максимум или минимум.
Замечание 2. Функция y = f(x) может иметь экстремум и в точках разрыва своей производной f '(x). Корни уравнения f '(x) = 0 называются стационарными точками.
Отыскание точек максимума или минимума. Для отыскания точек (относительных) максимума и минимума переменной величины поступают так:
1) выразив сообразно условию задачи данную переменную величину как функцию независимой переменной, находят производную этой функции (пусть — (a,b) область определения этой функции);
2) приравнивают производную нулю, решают полученное уравнение f '(x) = 0 и находят его корни (стационарные точки). Кроме них, находят еще и точки разрыва производной;
3) каждую из стационарных точек, а также точек разрыва производной исследуют на максимум и минимум одним из следующих двух способов.
Первый способ.
Допустим, что c1, c2, .., ck — корни уравнения f '(x) = 0. В таком случае определяем знаки производной f '(x) в каждом из интервалов (a,c1), (c1,c2), .., (ck,b). Тем самым будет выяснено, изменяет и как именно производная знак при переходе (слева направо) через каждую из точек c1, c2, .., ck. Если при переходе, например, через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то в точке функция имеет минимум, если с плюса на ми- нус — то максимум. Если же знак производной при переходе, например, через точку c2 не меняется, то в этой точке функция не имеет экстремума.
Второй способ.
Пусть c1, c2, .., ck — корни уравнения f '(x) = 0. Находим вторую производную f ''(x) = 0 и определяем знак второй производной при каждом из значений c1, c2, .., ck. Если, например, в точке c1 f ''(x) = 0, то в этой точке функция имеет максимум; если, например, в точке c2f ''(x) = 0, то в этой точке функция имеет минимум; если же, например, в точке c3 f ''(x) = 0, то ничего определенного сказать нельзя. В последнем случае следует обратиться к первому способу отыскания экстремума функции. выпуклой (вогнутой) кверху, если ее произвольная дуга лежит над (под) хордой, стягивающей эту дугу.
Достаточный признак выпуклости и вогнутости функции. Если вторая производная данной функции положительна в интервале, то функция в этом интервале вогнута кверху; если же в интервале (отрицательна), то функция выпукла кверху.
Точки перегиба. Точка, в которой кривая расположена по разные стороны своей касательной, называется точкой перегиба.
Точка перегиба отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой ее части.
Необходимый признак существования точки перегиба. В точках перегиба графика функции ее вторая производная обращается в нуль.
Замечание 1. Однако не при всяком значении, для которого вторая производная обращается в нуль, функция имеет точку перегиба.
Замечание 2. Функция может иметь точку перегиба и в точках разрыва второй производной.
Отыскание точек перегиба. Для отыскания точек перегиба графика функции необходимо:
1) вычислить вторую производную данной функции;
2) найти те значения в интервале, при которых обращается в нуль (т. е. решить уравнение) или имеет точку разрыва;
3) определить знак второй производной в каждом из интервалов.
Тем самым будет выяснено, изменяет ли вторая производная знак при переходе через каждую из точек. Изменение знака, например, в точке, указывает, что функция имеет точку перегиба.
Если знак не изменяется, например, при переходе через точку, то функция не имеет точки перегиба. Если функция имеет точку перегиба, то, определив значение функции в этой точке, мы найдем координаты точки перегиба.