Предел функции. Применение предела функции. Непрерывность функций
Число А называется пределом некоторой функции F (x), когда аргумент стремится к х0 (икс нулевого), если для всех точек х, отличных от х0, содержащиеся в достаточно малом дельта-окрестности точки х0 значение функции F (x) содержатся в качестве угодно малом эпсилон-окрестности точки А.
Если границы функций F (x) и G (x) при х, стремящемся к х0 существуют и конечным, то выполняются правила:
- Предел суммы этих функций равна сумме их границ;
- Предел разности этих функций равен разности их границ;
- Предел произведения этих функций равен произведению их границ;
- Предел отношения этих функций равно отношению их границ, если предел делителя отлична от нуля.
Для того чтобы найти границу элементарной функции, когда аргумент стремится к значению, принадлежащего области определения функции, нужно вместо аргумента в выражение подставить предельное значение аргумента. Это правило называется правилом предельного перехода.
Запомните некоторые важные границы: - Предел доли единицы и х равен нулю, если х стремится к бесконечности. - Предел доли синуса х и х равен единице, если х пярмуе к нулю. Границы функции применяют для нахождения асимптот графика функции: Прямая х = А является вертикальной асимптотой, если предел этой функции равен бесконечности при аргументе, стремящейся к А. Прямая у = В является горизонтальной асимптотой, если предел этой функции равно числу В при аргументе, что стремится к бесконечности. Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой, если предел отношения функции к ее аргументу равно числу k при аргументе, что стремится к бесконечности и если граница разницы функции и kx равно числу b при аргументе, что стремится к бесконечности. Функция называется непрерывной в некоторой точке, если эта функция определена в каком-либо окрестности данной точки, и если граница прироста функции равна нулю, когда прирост аргумента стремится к нулю. Сумма конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в этой точке. Разница конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в этой точке. Произведение конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в этой точке. Отношение двух функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в этой точке, если делитель не равен нулю.