Предел функции. Применение предела функции. Непрерывность функций

 

Число А называется пределом некоторой функции F (x), когда аргумент стремится к х0 (икс нулевого), если для всех точек х, отличных от х0, содержащиеся в достаточно малом дельта-окрестности точки х0 значение функции F (x) содержатся в качестве угодно малом эпсилон-окрестности точки А.

 

Если границы функций F (x) и G (x) при х, стремящемся к х0 существуют и конечным, то выполняются правила:

 

- Предел суммы этих функций равна сумме их границ;

 

- Предел разности этих функций равен разности их границ;

 

- Предел произведения этих функций равен произведению их границ;

 

- Предел отношения этих функций равно отношению их границ, если предел делителя отлична от нуля.

 

Для того чтобы найти границу элементарной функции, когда аргумент стремится к значению, принадлежащего области определения функции, нужно вместо аргумента в выражение подставить предельное значение аргумента. Это правило называется правилом предельного перехода.

Запомните некоторые важные границы:

 

- Предел доли единицы и х равен нулю, если х стремится к бесконечности.

 

- Предел доли синуса х и х равен единице, если х пярмуе к нулю.

 

Границы функции применяют для нахождения асимптот графика функции:

 

Прямая х = А является вертикальной асимптотой, если предел этой функции равен бесконечности при аргументе, стремящейся к А.

 

Прямая у = В является горизонтальной асимптотой, если предел этой функции равно числу В при аргументе, что стремится к бесконечности.

 

Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой, если предел отношения функции к ее аргументу равно числу k при аргументе, что стремится к бесконечности и если граница разницы функции и kx равно числу b при аргументе, что стремится к бесконечности.

 

Функция называется непрерывной в некоторой точке, если эта функция определена в каком-либо окрестности данной точки, и если граница прироста функции равна нулю, когда прирост аргумента стремится к нулю.

 

Сумма конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в этой точке.

 

Разница конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в этой точке.

 

Произведение конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в этой точке.

 

Отношение двух функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в этой точке, если делитель не равен нулю.