Исследование функции и построение ее графика

 

Чтобы построить график заданной функции, нужно сначала исследовать поведение функции, определить особенности ее графика.

 

Исследуйте функцию по следующей схеме:

 

1. Найдите область определения функции.

 

2. Исследуйте функцию на четность или нечетность (если функция парная, можно построить ее график в правой координатной полуплоскости и отразить симметрично относительно оси ординат в левую полуплоскость; если функция нечетная, то необходимо отразить симметрично относительно начала координат);

3. Найдите точки пересечения графика функции с осью абсцисс. Для этого решите уравнения, в левой части которого заданная функция, а в правой - ноль.

 

4. Найдите точки разрыва функции.

 

5. Найденными точками разбейте область определения функции на промежутки и определите знаки функции на каждом из промежутков.

 

6. Определите поведение функции вокруг точек разрыва и на бесконечности и найдите асимптоты графика функции.

 

7. Найдите производную функции и исследуйте ее на монотонность.

 

8. Найдите точки экстремума.

 

9. Исследуйте функцию на точки перегиба (для уточнения поведения, если это необходимо).

 

10. Составьте таблицу значений функции и ее производных.

 

11. Постройте эскиз графика функции, учитывая проведенное исследование.

 

Обратите внимание! Понятие максимума и минимума функции имеют локальный характер, т.е. в окрестности отдельной точки. Значение функции в этой точке сравнивается со значениями функции во всех достаточно близких точках. Поэтому какой-нибудь максимум функции может быть меньше какого-либо минимума функции, если рассматриваем функцию на области определения.

 

Производную функции применяют для доводки неровностей. При этом учитывают такие утверждения:

 

- Если в некоторой точке А значения заданной функции равна нулю и производная этой функции положительная на положительном лучи с началом в точке А, при этом функция непрерывна в этой точке, то заданная функция положительная на этом лучи.

 

- Если в некоторой точке А значения заданной функции равна нулю и производная этой функции отрицательная на положительном лучи с началом в точке А, при этом функция непрерывна в этой точке, то заданная функция отрицательная на этом лучи.