Школьник Украины

Наибольшее и наименьшее значения функции

Наибольшее и наименьшее значения функции

 

Много практических задач сводятся к нахождению наибольших или наименьших значений некоторых функций на определенных промежутках. Применение производной к таких задач дает общий метод поиска таких значений.

 

При этом важную роль играет следующее утверждение: если функция непрерывна на некотором промежутке, то среди ее значений на этом промежутке является наибольшее и наименьшее.

 

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке такова:

 

- Найдите производную функции и ее критические точки;

 

- Найдите значение функции на концах промежутка;

 

- Найдите значение функции в критических точках, принадлежащих заданном промежутке;

 

- Из всех найденных значений функции выберите наибольшее и наименьшее.

 

Для решения практических задач сначала составляют аналитическое выражение для той функции, с помощью которой одна величина выражается через вторую, после чего находят наибольшее или наименьшее значение полученной функции.

 

При этом пользуются следующей схеме:

 

- Выберите одну из переменных (независимую переменную) и составьте через нее функцию (зависимую переменную), для которой находят наибольшее или наименьшее значение;

 

- Найдите промежуток изменения независимой переменной;

 

- Найдите производную функции, которую составили;

 

- Приравняют производную функции к нулю и найдите корни полученного уравнения;

 

- Найдите точки, в которых производная не существует;

 

- Найдите значение функции на концах промежутка изменения независимой переменной и в точках, где производная не существует или равна нулю;

 

- Выберите из найденных значений больше или меньше.

 

Обратите внимание!

 

1) Точка, в которой функция приобретает наибольшее или наименьшее значение, не изменяется при следующих преобразованиях выражения, задающего функцию:

 

- Добавление числа;

 

- Умножение на отличное от нуля число, но при умножении на отрицательное число наибольшее значение становится маленьким и наоборот;

 

- Возведение в степень с натуральным показателем, если функция неотъемлемая.

 

2) Если положительная функция приобретает в некоторой точке наибольшего значения, то функции противоположная и обратная в этой же точке приобретают малейшего значения.

 

Если положительная функция приобретает в некоторой точке наименьшего значения, то функции противоположная и обратная в этой же точке приобретают наибольшее значение.

Press enter to search
Press enter to search