Логарифмічними рівняннями називають такі рівняння, які містять змінну під знаком логарифма. Найпростішим логарифмічним рівнянням є , де
,
. Корінь цього рівняння дорівнює
.
Рівняння , де
,
, рівносильне системі:
Зверніть увагу: у цій системі можна випустити одну з нерівностей.
Із цього випливає, що для розв’язання рівняння , де
, треба: розв’язати рівняння
; зі знайдених коренів відібрати ті, які задовольняють нерівність
або
(зазвичай обирають простішу з нерівностей).
Приклади
1) .
ОДЗ: .
(Зверніть увагу: спочатку записують ОДЗ, а тільки потім починають перетворювати рівняння.)
,
,
,
,
,
,
не задовольняє ОДЗ.
Відповідь: 2.
2) ; ОДЗ:
.
,
,
.
.
,
,
.
.
Відповідь: 5; .
3) ; ОДЗ:
.
,
,
,
,
,
.
.
,
,
.
.
Відповідь: 0,01; 10.
4) ,
ОДЗ:
.
,
,
,
— не задовольняє ОДЗ.
— не задовольняє ОДЗ.
Відповідь: коренів немає.
5) ; ОДЗ:
.
,
,
,
,
,
,
.
.
,
,
.
.
Відповідь: ; 3.
6) ; ОДЗ:
,
,
(далі див. приклад 2).
Дуже часто в систему рівнянь об’єднують показникові й логарифмічні рівняння.
Приклад
ОДЗ: ;
.
Розглянемо перше рівняння системи:
Нехай ,
,
;
не задовольняє умову
.
,
,
.
Отже,
(перевірка умови
).
Відповідь: .
/images/stories/uroki/matem/sprav-ukr3160_fmt.jpeg