Логарифмічними рівняннями називають такі рівняння, які містять змінну під знаком логарифма. Найпростішим логарифмічним рівнянням є , де , . Корінь цього рівняння дорівнює .
Рівняння , де , , рівносильне системі:

Зверніть увагу: у цій системі можна випустити одну з нерівностей.
Із цього випливає, що для розв’язання рівняння , де , треба: розв’язати рівняння ; зі знайдених коренів відібрати ті, які задовольняють нерівність або (зазвичай обирають простішу з нерівностей).
Приклади
1) .
ОДЗ: .
(Зверніть увагу: спочатку записують ОДЗ, а тільки потім починають перетворювати рівняння.)
,
,
,
,
,
, не задовольняє ОДЗ.
Відповідь: 2.
2) ; ОДЗ: .
,
,
. .
, ,
. .

Відповідь: 5; .
3) ; ОДЗ: .
,
,
,
,
,
. .
, ,
. .
Відповідь: 0,01; 10.

 

4) ,
ОДЗ:
.
,
,
,
— не задовольняє ОДЗ.
— не задовольняє ОДЗ.
Відповідь: коренів немає.
5) ; ОДЗ: .
,
,
,
,
,
,
. .
, ,
. .
Відповідь: ; 3.
6) ; ОДЗ:
,
,
(далі див. приклад 2).
Дуже часто в систему рівнянь об’єднують показникові й логарифмічні рівняння.
Приклад

ОДЗ: ; .
Розглянемо перше рівняння системи:

Нехай ,
,
; не задовольняє умову .
, ,
.
Отже,


(перевірка умови ).
Відповідь: .
/images/stories/uroki/matem/sprav-ukr3160_fmt.jpeg