Рівняння, в яких невідоме міститься під знаком кореня, називають ірраціональними. Розв’язуючи ірраціональні рівняння, намагаються привести їх до вигляду:
, або , а потім піднести обидві частини рівняння до n-го степеня. Але якщо піднести обидві частини рівняння до парного степеня, можуть з’явитися сторонні корені. Нариклад:
, ОДЗ: ;
,
,
, .
; — правильно.
Але якщо , маємо ;
, тобто — сторонній корінь.
Доцільно розв’язувати ірраціональні рівняння одним із двох наведених способів.
І спосіб
Виконувати перетворення, не зважаючи на їх рівносильність. Усі одержані корені перевірити. Зверніть увагу: для перевірки корінь треба підставляти тільки в умову, коли рівняння ще не зазнало ніяких перетворень.
При цьому способі розв’язання доцільно записати, при яких значеннях невідомого обидві частини рівняння мають зміст. Іноді в процесі розв’язування отримують сторонні корені, які не задовольняють ОДЗ. Але перевірка коренів за умовами ОДЗ не є достатньою. У наведеному вище прикладі сторонній корінь 1 задовольняє ОДЗ .
II спосіб
Можна розв’язувати ірраціональні рівняння, використовуючи тільки рівносильні переходи. Зручно користуватися такими твердженнями:
1)
2)
Приклади
1)


.
2)

 

Розглянемо ще декілька прикладів розв’язування ірраціональних рівнянь.
1. Відокремлювання кореня






2. Ірраціональні рівняння, що зводяться до квадратних
Якщо рівняння містить вирази і , то можна використати, що для тих значень х, при яких .
Отже, введемо нову змінну . Дістанемо .
Приклад
, ОДЗ: .
Нехай , .
,
, не задовольняє умову .
,
; .
Відповідь: 253.
3. Заміна змінної.
Приклад
,
ОДЗ: .
Нехай , .
Тоді .
Отже, ,
,
,
, не задовольняє умову .
,
,
.

Відповідь: 0; –5.
4. Рівняння виду
Скористаємось тотожністю
.
Приклад
.
Піднесемо обидві частини рівняння до третього степеня:

.
Треба знайти такі значення х, для яких . Отже, маємо:
,
,
,
,
,

Цей спосіб розв’язання потребує перевірки.
Перевірка
.
;
— правильно.
.
;
— правильно.
Відповідь: 80; –109.
images/stories/uroki/matem/sprav-ukr2663_fmt.jpeg border=