Рівняння, в яких невідоме міститься під знаком кореня, називають ірраціональними. Розв’язуючи ірраціональні рівняння, намагаються привести їх до вигляду:
, або
, а потім піднести обидві частини рівняння до n-го степеня. Але якщо піднести обидві частини рівняння до парного степеня, можуть з’явитися сторонні корені. Нариклад:
, ОДЗ:
;
,
,
,
.
;
— правильно.
Але якщо , маємо
;
, тобто
— сторонній корінь.
Доцільно розв’язувати ірраціональні рівняння одним із двох наведених способів.
І спосіб
Виконувати перетворення, не зважаючи на їх рівносильність. Усі одержані корені перевірити. Зверніть увагу: для перевірки корінь треба підставляти тільки в умову, коли рівняння ще не зазнало ніяких перетворень.
При цьому способі розв’язання доцільно записати, при яких значеннях невідомого обидві частини рівняння мають зміст. Іноді в процесі розв’язування отримують сторонні корені, які не задовольняють ОДЗ. Але перевірка коренів за умовами ОДЗ не є достатньою. У наведеному вище прикладі сторонній корінь 1 задовольняє ОДЗ .
II спосіб
Можна розв’язувати ірраціональні рівняння, використовуючи тільки рівносильні переходи. Зручно користуватися такими твердженнями:
1)
2)
Приклади
1)
.
2)
1. Відокремлювання кореня





















2. Ірраціональні рівняння, що зводяться до квадратних
Якщо рівняння містить вирази




Отже, введемо нову змінну



Приклад


Нехай









Відповідь: 253.
3. Заміна змінної.
Приклад

ОДЗ:

Нехай


Тоді

Отже,










Відповідь: 0; –5.
4. Рівняння виду

Скористаємось тотожністю

Приклад

Піднесемо обидві частини рівняння до третього степеня:


Треба знайти такі значення х, для яких







Цей спосіб розв’язання потребує перевірки.
Перевірка






Відповідь: 80; –109.
images/stories/uroki/matem/sprav-ukr2663_fmt.jpeg border=