Основнi означення
1. Якщо n Є N, , то
, де a — довільне число.
2. , де а — довільне число.
3. для
.
не має змісту.
4. , n Є N,
.
5. , n Є N, m Є Z,
.
Властивості степеня з раціональним показником
Для будь-яких раціональних чисел r і s і будь-яких додатних a і b виконуються такі рівності.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. Якщо , то
для
;
для
.
7. Якщо , то
для
;
для
.
Поняття степеня з ірраціональним показником
Нехай a — будь-яке додатне число, яке не дорівнює 1, — будь-яке ірраціональне число.
Розглянемо три випадки.
1. ,
.
Наприклад, ;
. Степінь
означає таке число, яке більше від усякого степеня
, але менше від усякого степеня
, де
— будь-яке раціональне наближення числа
, взяте з недостачею, а
— будь-яке наближення числа a, взяте з надлишком. Зверніть увагу: таке дійсне число існує, і до того ж єдине.
2. ,
.
Наприклад, . Тоді під степенем
розуміють число, яке менше від будь-якого степеня
, але більше від будь-якого степеня
.
3. a — довільне число, крім 1, .
Наприклад, ,
. Тоді вважають
.
Дії над степенями з ірраціональними показниками виконуються за тими самими правилами, які встановлені для степенів із раціональними показниками.
Степенева функція

Властивості степеневої функції залежать від значення p.
1. p Є N. Тоді



Якщо p — непарне, знак y збігається зі знаком x; функція непарна й зростає на всій області визначення. Якщо p — парне,



2. p Є Z;


Графік складається з двох віток;

Якщо p — непарне, то для всіх значень

Функція непарна, спадна на кожному з проміжків


Якщо p — парне,






Показникова функція
Функція , де
і
, називається показниковою (з основою а).
Властивості показникової функції
:
1. . 1.
.
2. . 2.
.
3. Функція не є ні парною, ні непарною.
4. Графік функції розміщений у верхній півплощині, перетинає вісь Oу у точці (0; 1), вісь Oх є для нього асимптотою.
5. Функція зростає 5. Функція спа на R. дає на R.
6. Якщо , то
.
7. Якщо , то існує, і до того ж єдине, значення x, при якому
(Тобто рівняння
завжди має розв’язок, і до того ж єдиний, якщо
,
,
.)
На рисунку внизу зліва зображений графік показникової функції при
; на рисунку 1 — при
.
Рис. 1
Рис. 2
/h5img src=