1. Рівняння, що зводяться до квадратних
.
легко виразити через
за допомогою основної тригонометричної тотожності
:
.
Отже, ;
.
Нехай ,
.
;
;
.
1) ;
, k Є Z.
2) ;
, k Є Z.
Відповідь: , k Є Z;
, k Є Z.
2. Спосіб розкладання на множники
;
;
;
Відповідь: n Є Z;
k Є Z.
Якщо під час розв’язування одержуємо сукупність кількох серій розв’язків, доцільно перевірити, чи не можна їх описати загальною формулою. Для цього рекомендується використовувати тригонометричне коло:
Наприклад, позначивши на колі дві серії:
бачимo, що відповідь можна записати у вигляді k Є Z.
3. Однорідні рівняння
У загальному випадку однорідне тригонометричне рівняння має вигляд:
, де .
Значення x, при яких , не є розв’язком рівняння. Дійсно, якщо
, рівняння набуде вигляду
, звідки
. Але
і
не можуть перетворитися на 0 одночасно.
Із цього випливає, що при діленні обох частин рівняння на не може відбутися втрата коренів.
Отримуємо: .


Зверніть увагу: якщо


Приклади
1)





Нехай




а)


б)


Відповідь:


2)






Відповідь:


4. Спосіб введення допоміжного аргументу
Цей спосіб застосовується для розв’язання рівнянь виду asinx ++ bcosx = c.
Поділимо обидві частини рівняння на


Очевидно:



Із цього випливає, що можна ввести до розгляду кут

Тоді



або

Можна прийняти:


Тоді дістанемо

Рівняння виду


Використавши тотожність


5. Рівняння, що містять тригонометричні функції у знаменнику. Відбір коренів
Ці рівняння зводять до вигляду


Приклад




Відбір коренів зручно виконувати, скориставшись тригонометричним колом.
Позначимо на колі точки, що відповідають кутам виду

Потім відкинемо (виколемо) ті з них, які мають вигляд


Відповідь:

6. Випадок, коли треба знайти тільки певні розв’язки
Приклад. Скільки розв’язків рівняння










Треба відповісти на запитання, скільки розв’язків належить проміжку

I cпосіб. Розглянемо нерівності:
1)






n = 0; 1; 2; 3,

оскільки n Є Z.оскільки n Є Z.
Таким чином, проміжку

ІІ спосіб. Можна скористатися тригонометричним колом, якщо позначити на ньому відповідні розв’язкам рівняння точки й відібрати ті, що містяться в першій чверті.
/