Теорема 1. Нехай послідовності і мають відповідно границі a і b. Тоді послідовність має границю .
.
Теорема 2. Нехай послідовності і мають відповідно границі a і b. Тоді послідовність має границю, яка дорівнює ab:
.
Наслідки
1) Сталий множник можна виносити за знак границі. Якщо С — сonst і має границю, то .
2) Якщо , а k — натуральне число, то .
Теорема 3. Нехай послідовності і мають скінченні границі, які відповідно дорівнюють , , причому . Тоді послідовність має скінченну границю, яка дорівнює :
.

 

Послідовність називається неспадною (незростаючою), якщо для будь-якого n Є N виконується нерівність .
Неспадні та незростаючі послідовності називають монотонними.
Якщо значення членів монотонної послідовності для будь-якого n Є N задовольняють строгу нерівність , то послідовність називають зростаючою (спадною). Зростаючі та спадні послідовності називають також строго монотонними.
Теорема 4 (Вейєрштрасса). Зростаюча або спадна обмежена послідовність має границю.
Теорема 5. Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина.
Приклади границь послідовностей
1)
.
2)
.
Зверніть увагу на таку границю:
.
Число е є основою натурального логарифма. Позначення: . Число е є ірраціональним, його наближене значення .
Показникова функція з основою е називається експонентою.
ab