Нехай — неперервна функція, невід’ємна на відрізку
. Розіб’ємо відрізок
на n рівних частин точками
,
де .
Утворимо добутки ,
і так далі й знайдемо їх суму
.
Знайдемо .
Ця границя називається інтегралом функції від a до b.
Позначення: , де a — нижня межа інтегрування, b — верхня межа; функція
— підінтегральна функція, вираз
— підінтегральний вираз, x — змінна інтегрування.
Отже, .
Криволінійна трапеція — це фігура, обмежена графіком неперервної і невід’ємної на відрізку функції
, відрізком
і прямими
і
.
Площа такої криволінійної трапеції дорівнює .
Формула Ньютона — Лейбніца
, де
— функція, неперервна на відрізку
, а
— довільна первісна для
на
. Цю формулу можна записати у вигляді
.
Властивості інтеграла
1.
.
2.
, де k Є R.
3.
, де
.
4.
, де p Є R, k Є R.
Обчислення площ плоских фігур за допомогою інтеграла
Нехай є яка-небудь фігура, обмежена графіком функцій і
. Якщо обидві функції
і
неперервні на відрізку
, причому
,
, а для всіх
,
, то площа такої фігури дорівнюватиме
.
/emHeader730, причому
- Правила: Інтеграл і його застосування