Властивості модуля

1. .
2. Якщо , то .
3. Якщо , то
4. Модуль суми скінченного числа дійсних чисел не перевищує суми модулів цих чисел:
.
5. Модуль різниці не менший за різницю модулів цих чисел:
.
6. Модуль добутку скінченного числа співмножників , ..., дорівнює добутку модулів цих співмножників:
.
7. Модуль частки дорівнює частці від ділення модуля діленого на модуль дільника:
, якщо .
Приклади розв’язування рівнянь та нерівностей, що містять знак модуля
1)

Відповідь: , .
2)
Треба враховувати, що модуль будь-якого числа є числом невід’ємним, отже, корені і 3 є сторонніми.
Відповідь: , .

.
Відповідь:

.
4)

.
Відповідь:

.
Складаючи першу сукупність, ми урахували, що модуль будь-якого числа є завжди число невід’ємне. Із цього випливає, що при тих значеннях x, коли права частина є числом недодатним, нерівність завжди виконується.
5) Дуже корисним у розв’язуванні завдань з модулем є спосіб поділення координатної прямої на такі інтервали, що в них можна визначити знак підмодульного виразу й розкрити знак модуля.

.
Знайдемо, при яких значеннях х підмодульні вирази перетворюються на нуль:

;

.
Отже, розіб’ємо числову пряму на три інтервали й будемо розв’язувати рівняння на кожному з них окремо (див. рисунок).

Щоб визначити, який знак має на певному інтервалі кожний із підмодульних виразів, досить підставити в нього замість х довільне число з цього інтервалу.
І.