Лінійна функція
Лінійною називається функція, яку можна задати формулою , де х — аргумент, а k і b — дані числа.
Графік лінійної функції — пряма. k називається кутовим коефіцієнтом прямої, яка є графіком лінійної функції. Кожна пряма на координатній площині, яка не є перпендикулярною до осі абсцис,— графік деякої лінійної функції.
Через дві точки можна провести одну й тільки одну пряму, тому для побудови графіка лінійної функції досить знати координати двох його точок (дуже добре, якщо це будуть точки перетину графіка з осями). Точка перетину графіка з віссю абсцис має ординату 0, а точка перетину графіка з віссю ординат має абсцису 0.
Приклад
Побудуйте графік функції .
,
;
,
,
,
.
x | 0 | 1,5 |
y | -3 | 0 |
Побудуємо графік (див. рисунок).
Якщо в лінійній функції , то графік функції
перетинає вісь абсцис;
якщо ,
, то графік функції — пряма, паралельна осі абсцис;
якщо ,
, графік функції збігається з віссю абсцис.
Графіки двох лінійних функцій перетинаються, якщо їх кутові коефіцієнти різні, і паралельні, якщо їх кутові коефіцієнти однакові.
Можна знайти координати точки перетину прямих, не виконуючи побудови графіків функцій. Так, якщо прямі задані рівняннями і
, то досить розв’язати систему рівнянь:
Лінійну функцію, що задається формулою , де
, називають прямою пропорційністю.
Графік прямої пропорційності — пряма, що проходить через початок координат. Якщо , графік лежить у I і III координатних чвертях, а якщо
— то у II і IV координатних чвертях.
Приклади
1) ,
,
.
2) ,
,
.
Побудуємо в одній системі координат графіки функцій і
(див. рисунок).
Обернена пропорційність
Функцію, задану формулою , де х — незалежна змінна,
— дане число, називають оберненою пропорційністю.
Область визначення функції — множина всіх чисел, крім 0.
Графік функції — гіпербола, симетрична відносно початку координат. Коли
, вітки такої гіперболи розміщені в I і III координатних кутах, коли
— у II і IV.
Як приклад побудуємо графік функції . Заповнимо таблицю (значення x задаємо, y — обчислюємо за формулою
:
x | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
y | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Нанесемо отримані точки на координатну площину. Сполучивши ці точки плавною лінією, отримаємо графік (див. рисунок):
Зверніть увагу на поводження графіка поблизу осей координат. Графік до них нескінченно наближається, але не перетинає. Дійсно, не входить до області визначення, отже точки перетину з віссю Oy немає.
ні при якому значенні х, значить, якщо
, точки перетину з віссю Ox немає.
Функція
Заповнимо таблицю (значення x задаємо, y — обчислюємо за формулою y = x2).
x | 0 | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
y | 0 | 1 | 4 | 9 | 0,25 |
Нанесемо знайдені точки на координатну площину. Сполучивши ці точки, отримаємо графік функції (див. рисунок нижче).
Область визначення цієї функції — множина всіх дійсних чисел.
. Графік проходить через початок координат
.
при всіх значеннях х. Усі точки графіка розташовані не нижче осі Оx.
Протилежним значенням аргументу відповідають рівні значення функції, тобто графік симетричний відносно осі ординат.
Функція
Область визначення — множина всіх невід’ємних дійсних чисел.
Графік — одна вітка параболи, яка розташована в I координатному куті (див. рисунок).