Квадратним тричленом називається многочлен виду , де x — змінна, a, b і c — деякі числа, причому .
Коренем квадратного тричлена називається таке значення змінної, яке перетворює квадратний тричлен на 0. Щоб знайти корені квадратного тричлена, треба розв’язати квадратне рівняння .
Теорема. Якщо і — корені квадратного тричлена , то
.
Приклади
1) ,
,
; .
або
.
2) Скоротити дріб.
а) ;
б) ;
в)
, ; .
Квадратичною функцією називається функція, яку можна задати формулою виду , де x — незалежна змінна, a, b, c — довільні числа, причому .
Графіки функцій і — рівні параболи, які можна сумістити паралельним перенесенням.
Будь-яку функцію можна представити у вигляді , де m і , n — деякі дійсні числа. А це означає, що графік функції можна дістати за допомогою двох паралельних перенесень графіка функції .
Приклад
;




.
Отже, щоб дістати графік функції , треба зробити з графіком функції такі перетворення:
1) відобразити симетрично осі Ox;
2) зробити паралельне перенесення на три одиничних відрізка в напрямі осі Ox;
3) зробити паралельне перенесення на один одиничний відрізок униз.
Зробимо всі ці перетворення й отримаємо графік функції :

При побудові параболи користуються такими загальними формулами та властивостями квадратичної функції.
1. Координати вершини параболи :
xв= ; yв= або yв= y(xв).
Зручніше знаходити ординату вершини як значення функції, що відповідає значенню аргументу x = xв.
2. Точки перетину параболи з осями коор­динат є такими:
Абсциса точки перетину параболи з віс­сю Oy дорівнює 0, тоді , .
Ордината точок перетину параболи з віс­сю Ox дорівнює 0, тоді, щоб знайти абсциси цих точок, треба розв’язати квадратне рівняння .
Якщо це рівняння має два різних корені і , графік перетинає вісь Ox у точках , .
Якщо це рівняння має один корінь (тобто ), то цей корінь .
Це означає, що вершина параболи лежить на осі Ox і має координати .
Якщо це рівняння не має коренів , парабола не перетинає вісь Ox.
3. Напрям віток параболи залежить від знака коефіцієнта a.
Якщо , вітки параболи напрямлені вгору.
Якщо , вітки параболи напрямлені вниз.
4. Парабола є симетричною відносно прямої .
На рисунках, поданих нижче, наведені ескізи розміщення параболи на координатній площині в деяких випадках.
1) ; ;

; ;
; xв.

2) ; ;
x1 = x2 = xв=
= ;
.

3) ; ;
xв> 0; .

4) ; ;
;
, ;
xв= .

5) ; ;
;
x1= x2= xв= <0.

6) ; ;
;
xв= .

Приклад

Побудувати графік функції . — вітки параболи напрямлені вниз.
xв= ; xв= ;
yв= , yв= .
Вершина: (3; 1).
Точка перетину з віссю Oу:
; (0; –8).
Точки перетину з віссю Ox:
; ;
; , .
(2; 0); (4; 0).
На прикладі цієї функції покажемо, як аналізувати її властивості.
1. .
2. ; — множина значень функції, тобто множина всіх значень y.
3. при і при .
4. Точки перетину графіка з осями коор­динат.
(0; -8); (2; 0); (4; 0).
5. при ; при .
6. Функція зростає при , функція спадає при .
7. Найбільше значення функції — , найменшого значення функції немає.
8. Графік функції — парабола (див. рисунок нижче), що дорівнює параболі , вітки якої напрямлені вниз, яка має вершину в точці (3; 1) і симетрична відносно прямої .

Зверніть увагу: будь-яка парабола має один проміжок зростання й один проміжок спадання, причому вісь Ox розбивається на ці проміжки точкою, яка відповідає точці xв.

Розв’язування квадратних нерівностей за допомогою графіків

Якщо лівою частиною нерівності є вираз виду , де , b, c — дані числа, а правою — нуль, то таку нерівність називають квадратною не­рівністю.
Квадратні нерівності зручно розв’язувати за допомогою графіків квадратичних ­функцій.
Для цього треба:
1) знайти корені тричлена або з’ясувати, що їх немає;
2) зобразити схематично графік функції , звертаючи увагу тільки на точки перетину з віссю Ox і напрям віток параболи залежно від знака коефіцієнта а;
3) знайти на осі Ox проміжки, для яких виконується дана нерівність.

Приклади
1) , , ,
, .

На ескізі графіка функції (див. рисунок) знайдемо проміжки, на яких .
Відповідь: .

2) ,
,
, .


Вітки параболи графіка напрямлені вниз (див. рисунок).
Відповідь: (0; 0,9).
3) ,

,
— коренів немає.
Графік функції не перетинає вісь абсцис (див. рисунок).
Відповідь: .
4) ,
, .

Графік перетинає вісь абсцис в одній точці (див. рисунок).
Відповідь: .

5) .
Відповідь: .
6) .
Відповідь: .
7) .
Відповідь: .
Дуже зручно користуватися таким простим правилом: квадратний тричлен із додатним першим коефіцієнтом набуває додатних значень «за коренями», а від’ємних — «між коренями»; і навпаки: квадратний тричлен з від’ємним першим коефіцієнтом набуває додатних значень «між коренями», а від’ємних — «за коренями».

Рівняння, що зводяться до квадратних

Рівняння виду , де , називається біквадратним.
Для його розв’язання вводять нову змінну:
, .
Приклади
1) .
Нехай , .
. Розв’язавши це квадратне рівняння, знайдемо:
, .
, ,
, ,
, . ; .
Відповідь: , , , .
2) .
Нехай , .
,
, не задовольняє умову .
,
, .
Відповідь: , .
3) .
Нехай , .
,
; .
t1 і t2 не задовольняють умову .
Відповідь: коренів немає.
Введення нової змінної дає можливість звести до квадратних і деякі інші види ­рівнянь.
Приклади
1. .
Нехай , .
,
, не задовольняє умову .
,
,
,
.
Відповідь: , .
2. .
Нехай .
Тоді ,
,
,
Відповідь: , .
а) .
,
,
Відповідь: , .

б) .
, ,
; .
Відповідь: , , , .
img src= /

• Відео: Квадратична функція