Стереометрія — це розділ геометрії, в якому вивчаються фігури в просторі.
Основні фігури в просторі: точка, пряма і площина.

Аксіоми стереометрії

I. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.
Через будь-які дві точки можна провести пряму, й тільки одну.
II. Із трьох точок на прямій одна й тільки одна лежить між двома іншими.
III. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.
IV. Пряма, що належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини.
V. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює . Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.
VI. На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної дов­жи­ни, й тільки один.
VII. Від півпрямої на площині, що містить її, можна відкласти в задану півплощину кут із даною градусною мірою, меншою за , і тільки один.
VIII. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому, у даній площині в заданому розміщені відносно даної півпрямої у цій площині.
IX. На площині через дану точку, що не лежить на даній прямій, можна провести не більш як одну пряму, паралельну даній.
До цих аксіом додаються три аксіоми ­групи С.
. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать їй.
. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.
. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, й до того ж тільки одну.
Теорема 1. Через пряму і точку, яка не лежить на ній, можна провести площину, й до того ж тільки одну.
Теорема 2. Через пряму можна провести дві різні площини (див. рисунок).

Теорема 3. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.
Отже, можливі три варіанти взаємного розміщення прямої і площини в просторі.
1. Пряма лежить у площині (рисунок зліва).
2. Пряма перетинає площину в даній точці (рисунок справа).

3. Пряма не перетинає площину (див. рисунок). У даному випадку пряма а називається паралельною площині.

Теорема 4. Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину, й до того ж тільки одну.
Для розв’язання задач можуть бути корисними такі твердження.
1. Якщо дві різні прямі перетинаються у деякій точці (рисунок нижче зліва), то всі прямі, які перетинають обидві дані прямі й не проходять через цю точку, лежать в одній площині.
2. Усі прямі, які перетинають дану пряму й проходять через дану точку поза прямою, лежать в одній площині (рисунок справа).

Паралельність прямих і площини

Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються. Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіж­ними.
Зверніть увагу: «не лежать в одній площині» і «лежать у різних площинах» — це різні твердження. Наприклад, паралельні прямі a і b лежать у різних площинах і (див. рисунок), але через них можна провести площину, яка міститиме a і b водночас.

Для мимобіжних прямих (див. рисунок) не існує такої площини, у якій вони лежали б водночас.

Можна довести, що всі прямі, які перетинають дві паралельні прямі, лежать в одній площині.
Теорема. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну.

Ознака паралельності прямих

Теорема. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.
Із цієї теореми випливає, що середини сторін просторового чотирикутника (див. рисунок) є вершинами паралелограма (вершини просторового чотирикутника не лежать в одній площині).

Зверніть увагу: якщо ABCD — просторовий чотирикутник, то його діагоналі AC і BD — мимобіжні прямі.

Ознака паралельності прямої і площини

Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині.
Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій.
Зверніть увагу: паралельність прямої і площини не означає, що ця пряма паралельна будь-якій прямій на цій площині. Кожна пряма цієї площини буде або паралельна даній, або мимобіжна з нею.

На рисунку: ; ; ; a і b — мимобіжні; .
Теорема 3. Через точку, що не лежить на площині, можна провести безліч прямих, паралельних даній площині, причому всі вони лежать в одній площині (паралельній даній).
Теорема 4. Якщо площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу пряму (див. рисунок).

На рисунку .

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Ознака паралельності площин

Теорема 1. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні.

Теорема 2 (обернена). Якщо в одній площині є дві прямі, які перетинаються, і ці прямі паралельні другій площині, то такі площини паралельні.
Зверніть увагу: прямі мають обов’язково перетинатися. Дійсно, в площині може бути скільки завгодно прямих, паралельних прямій a (див. рисунок нижче), а значить, і площині , і при цьому площини і не будуть паралельними.

Теорема 3. Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних площин, то вона перетинає й другу (див. рисунок).

Теорема 4. Через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини (рисунок нижче ­зліва).
Теорема 5. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну (рисунки нижче).

Теорема 6. Якщо дві площини паралельні третій, то вони паралельні одна одній.

Властивості паралельних площин

Теорема 1. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою площиною (див. рисунок), то прямі перетину паралельні.
На рисунку: ; .

Теорема 2. Відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами (див. рисунок), рівні. На рисунку:
; ; .

Теорема 3. Нехай площини і паралельні (див. рисунок нижче) і є точка A, яка не лежить у жодній із цих площин. Через точку A проведено довільну пряму. Нехай і — точки перетину прямої з площинами і . Відношення довжини відрізків не залежить від узятої прямої (AY1 : AY2 = AX1 : AX2).

Зображення просторових фігур на площині

Для зображення просторових фігур на площині, як правило, користуються паралельним проектуванням. Беремо довільну пряму h, яка перетинає площину рисунка , проводимо через довільну точку A фігури пряму, паралельну h.
Точка перетину цієї прямої з площиною рисунка буде зображенням точки A. Побудувавши таким чином зображення кожної точки фігури, дістанемо зображення самої фігури. Такий спосіб зображення фігури на площині і є паралельне проектування. У випадку, коли пряма h перпендикулярна до площини , кажуть, що проведено ортогональне проектування.

Властивості паралельного проектування

1. Прямолінійні відрізки фігури зображуються на площині рисунка відрізками або точками. (Якщо відрізок, що проектується, паралельний напрямку проектування, він проектується в точку.)
2. Паралельні відрізки фігури зображуються на площині рисунка паралельними відрізками.
3. Відношення відрізків однієї прямої або паралельних прямих зберігається при паралельному проектуванні.
Зверніть увагу: при паралельному проектуванні не зберігаються ані довжина відрізка, ані величина кута.
Із властивостей паралельного проектування випливають такі твердження.
1. Будь-який трикутник може бути зображений довільним трикутником.
2. Якщо проектується у , то медіани проектуються в медіани, середні лінії — у середні лінії, а висоти й бісектриси не проектуються у висоти й бісектриси. Проте основа проекції бісектриси поділяє сторону проекції трикутника у тому ж відношенні, що основа бісектриси поділяє сторону трикутника.
3. Паралелограм зображується паралелограмом. Прямокутник, квадрат, ромб — паралелограмом загального виду.

4. Трапеція зображується трапецією. Рівно­біч­ність або прямокутність не зберіга­ється.
Зверніть увагу, як побудувати зображення висот рівнобічної трапеції: на рисунку — зобра­ження трапеції, отримане при паралельному проектуванні.

1) Будуємо .
2) Будуємо точку — середину .
3) — висота .
4) .
Отже, B1P1 і — зображення висот рівнобічної трапеції ABCD, проекцією якої є трапеція .
5. Коло зображується еліпсом.
Якщо — проекція хорди AB (див. рисунок), то, щоб побудувати зображення діаметра, перпендикулярного до AB, досить провести пряму через центр О і середину . (Діаметр, перпендикулярний до хорди, проходить через її середину.)

 

Перпендикулярність прямих і площин

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.
Теорема 1. Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом іншим перпендикулярним прямим, то інші прямі теж перпендикулярні.
Теорема 2. Через будь-яку точку прямої у просторі можна провести безліч перпендикулярних до неї прямих (див. рисунок). (Усі прямі лежать у площині, яка перпендикулярна до даної прямої і перетинає її у даній точці.)

Через будь-яку точку в просторі, що не належить даній прямій, можна провести пряму, перпендикулярну до даної, і тільки одну. Це буде та перпендикулярна до даної прямої пряма, яка лежить у площині, визначеній даними прямою й точкою:

Зверніть увагу, що в просторі дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, не обов’язково паралельні між собою.
На рисунку ; .

Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині й проходить через точку перетину (див. рисунок).

Теорема 3. Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині й перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини (див. рисунок).

Зверніть увагу: якщо пряма перпендикулярна до однієї прямої площини, то цього не досить для перпендикулярності прямої і площини.
На рисунку , але a не перпендикулярна до , зокрема a не перпендикулярна до с.

Теорема 4. Через точку, яка не належить даній площині, можна провести пряму, перпендикулярну до даної площини, і тільки ­одну.
Теорема 5. Через дану точку площини можна провести одну, й тільки одну, перпендикулярну до неї пряму.
Теорема 6. Через дану точку прямої можна провести одну, й тільки одну, перпендикулярну до неї площину.
Теорема 7. Через точку, яка не лежить на прямій, можна провести одну, й тільки одну, площину, перпендикулярну до даної прямої.
Теорема 8. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до другої.
На рисунку ; ; .

Теорема 9. Дві прямі, перпендикулярні до однієї й тієї самої площини, паралельні.

Перпендикуляр і похила

Перпендикуляром, опущеним із даної точки на дану площину, називається відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини й лежить на прямій, перпендикулярній до площини. Кінець цього відрізка, який лежить у площині, називається основою перпендикуляра. Від­станню від точки до площини називається довжина перпендикуляра, опущеного із цієї точки на площину.
На рисунку AB — перпендикуляр; AC — похила; BC — проекція.

Відстанню від прямої до паралельної їй площини називається відстань від будь-якої точки цієї прямої до площини.
Відстанню між паралельними площинами називається відстань від будь-якої точки однієї площини до другої площини.
Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точкою площини і не є перпендикуляром до пло­щини. Кінець відрізка, що лежить у площині, називається основою похилої.
Відрізок, який сполучає основи перпендикуляра й похилої, проведених з однієї і тієї самої точки, називається проекцією по­хилої.

Властивості похилих, проведених з однієї точки до однієї площини

1. Похилі, проведені до площини з однієї точки (рисунок нижче зліва), рівні тоді й тільки тоді, коли вони мають рівні проекції.
2. Якщо з точки до площини проведені дві похилі, то більша та з них, яка має більшу проекцію, і навпаки, більша похила має більшу проекцію.
Зверніть увагу, що ці властивості зберігаються для похилих, які проведені до площини з різних точок, але мають однакову довжину перпендикуляра (рисунок справа).

Теорема про триперпендикуляри

Теорема 1. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна до похилої (див. рисунок). І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

Приклади застосування теореми про три перпендикуляри

1. На рисунку — куб.
, тому що: — перпендикуляр,
— похила,
СD — проекція.

2. На рисунку , тоді , тобто AC є відстанню від точки A до прямої CD.
AB — перпендикуляр,
AС — похила,
BС — проекція.

3. На рисунку ABCD — прямокутник, у даному випадку квадрат.
; .
, , ,
— прямокутні.

4. На рисунку ABCD — ромб. .

5. На рисунку нижче — рівнобедрений, .

BD — бісектриса (медіана, висота), .
FB — перпендикуляр,
FD — похила,
BD — проекція.
Теорема 2. Пряма, перпендикулярна до площини трикутника і проведена через центр вписаного в нього кола (див. рисунок), є геометричним місцем точок простору, рівновіддалених від сторін трикутника.

Перпендикулярність площин

Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетину цих двох площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих (див. рисунок).

Будь-яка площина, перпендикулярна до прямої перетину перпендикулярних площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих.

Ознака перпендикулярності площин

Теорема 1. Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні (див. рисунок).

Теорема 2. Якщо пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину, то вона перпендикулярна і до другої площини (див. рисунок).

Приклад застосування теореми 2
Нехай є дві перпендикулярні площини і , які перетинаються по прямій a (див. рисунок). Знайти відстань від точки A, яка лежить в площині і не лежить в площині , до площини .

У площині будуємо перпендикуляр до a через точку A. Нехай він перетинає a в точці B. AB — шукана відстань.
Зверніть увагу на таке.
1. Через точку поза площиною можна провести безліч площин, перпендикулярних до цієї площини (див. рисунок). (Але всі вони пройдуть через перпендикулярну до цієї площини пряму, яка проходить через дану точку.)

2. Якщо площина перпендикулярна до даної площини, то це не означає, що вона перпендикулярна і до довільної прямої, паралельної цій площині.
Наприклад, на рисунку нижче , і перетинаються по прямій b, , причому a нележить в жодній із площин і . Отже, пряма a водночас паралельна двом перпендикулярним площинам.

3. Якщо площина й пряма, що не належить цій площині, перпендикулярні до однієї і ­тієї самої площини, то ці площина й пряма паралельні.
На рисунку: ; ; .

4. Через довільну пряму, яка не перпендикулярна до даної площини, можна провести єдину площину, перпендикулярну до ­даної.
5. Якщо дві площини перпендикулярні, то пряма, яка є перпендикулярною до однієї із цих площин і проходить через їх спільну точку, обов’язково буде лежати в другій площині (див. рисунок).

Відстань між мимобіжними прямими

Спільним перпендикуляром до двох мимобіжних прямих називається відрізок із кінцями на цих прямих, перпендикулярний до кожної з них.
Теорема. Дві мимобіжні прямі мають спільний перпендикуляр, і до того ж тільки один. Він є спільним перпендикуляром до паралельних площин, які проходять через ці прямі.
Відстанню між мимобіжними прямими називається довжина їхнього спільного перпендикуляра.
Відстань між мимобіжними прямими знаходять:
як відстань між паралельними площинами, що проходять через ці прямі;
як відстань від однієї із цих прямих до площини, що паралельна їй і проходить через другу пряму.

Приклад
На рисунку — куб з ребром а.

1) Відстань між і BC — a.
Cпільний перпендикуляр до цих мимобіжних прямих — CD.
2) Відстань між і BD — .
Cпільним перпендикуляром до С1С і BD є СО.
3) Відстань між і — а. Спільним перпендикуляром до AA1 і B1C є .
4) Відстань між і — a. Відстань між паралельними площинами — .

Кут між мимобіжними прямими

Дві прямі, що перетинаються, утворюють суміжні та вертикальні кути. Кутова міра меншого із суміжних кутів називається кутом між прямими. Кут між перпендикулярними прямими дорівнює за означенням.
Кут між паралельними прямими вважаємо таким, що дорівнює нулю.
Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які перетинаються й паралельні даним мимобіжним прямим. Цей кут не залежить від вибору прямих, що перетинаються.
Мимобіжні прямі, кут між якими дорівнює , теж називаються перпендикулярними.
Отже, якщо пряма перпендикулярна до площини, то вона перпендикулярна до будь-якої прямої на цій площині.
Теорема. Будь-яка пряма на площині перпендикулярна до проекції похилої на цю площину тоді й тільки тоді, коли ця пряма перпендикулярна до самої похилої. (У такому вигляді часто використовують теорему про три перпендикуляри.)
Приклади

1) На рисунку ABCDA1B1C1D1 — куб.
а) Кут між і DС — ;
б) кут між і — ;
в) кут між і — ;
г) кут між і — (— рівносторонній).

2) На рисунку ABCD — ромб. Пряма MO перпендикулярна до його площини: .

Кут між прямою та площиною

Кутом між прямою та площиною називається кут між цією прямою і її проекцію (ортогональною) на площину.
Якщо пряма перпендикулярна до площини, то кут між нею й площиною вважається таким, що дорівнює , а між паралельними прямою та площиною таким, що дорівнює .
Кут між прямою та площиною і кут між цією прямою й перпендикуляром до площини в сумі дорівнюють .
На рисунку .

Кут між площинами

Кут між паралельними площинами вважається таким, що дорівнює .
Нехай дані площини перетинаються (див. рисунок). Проведемо площину, перпендикулярну до прямої їх перетину. Ця площина перетинає дані площини по двох прямих. Кут між цими прямими називається кутом між даними площинами. Означений таким чином кут між площинами не залежить від вибору січної площини.
Побудувати кут між площинами можна ще такими способами.
1. Візьмемо довільну точку на прямій перетину площин (див. рисунок). Через цю точку проведемо перпендикуляри до прямої в кожній із площин. Кут між цими пер­­пен­дикулярами буде кутом між даними площи­нами.
; .
2. Беремо точку А, яка лежить тільки в одній із площин, які перетинаються (див. рисунок). Проведемо через точку А перпендикуляри до іншої площини і до прямої їх перетину. З’єднаємо основи перпендикулярів відрізком. Кут між цим відрізком і перпендикуляром до прямої перетину площин буде кутом між площинами.
; .
— кут між площинами і .
Теорема. Площа ортогональної проекції многокутника на площину дорівнює добутку його площі та косинуса кута між площиною многокутника і площиною проекції.