Якщо кожну точку даної фігури змістити деяким чином, то дістанемо нову фігуру. Кажуть, що ця фігура утворюється перетворенням даної.
Перетворення однієї фігури в іншу називається рухом, якщо це перетворення зберігає відстань між точками.

Властивості руху

1. Два рухи, виконані послідовно, дають знову рух.
2. Перетворення, обернене до руху, є рух.
3. Під час руху точки, що лежать на прямій, переходять у точки, які лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розміщення.
4. Під час руху прямі переходять у прямі, півпрямі — у півпрямі, відрізки — у відрізки.
5. Під час руху зберігаються кути між півпрямими.
6. Під час руху паралельні прямі переходять у паралельні прямі.

Симетрія відносно точки

Нехай O — фіксована точка, X — довільна точка площини. Відкладемо на продовженні відрізка OX за точку O відрізок , що дорівнює OX.
Точка називається симетричною точці X відносно точки O(див. рисунок).

Очевидно, що точка, симетрична , є точка X.
Перетворення фігури F у фігуру , при якому кожна її точка X фігури F переходить у точку , симетричну відносно точки O, називається перетворенням симетрії відносно точкиO.
Фігури F і називаються симетричними відносно точкиO (див. рисунок).

Якщо перетворення симетрії відносно точки O переводить фігуру F у себе, то фігура F називається центрально-симетричною, а точка O — її центром симетрії. Наприклад, точка перетину діагоналей паралелограма є його центром симетрії (рисунок нижче зліва). Центр кола є його центром симетрії (рисунок справа).

Теорема. Перетворення симетрії відносно точки є рухом.

Симетрія відносно прямої

Нехай а — фіксована пряма. Візьмемо довільну точку Х і опустимо перпендикуляр AX на пряму а. На продовженні цього перпендикуляра за точку А відкладемо відрізок . Точка називається симетричною точці X відносно прямої а.

Якщо точка X лежить на прямій а, то вона симетрична сама собі відносно прямої а.
Очевидно, що точка, симетрична точці , є точка X.

 

Перетворення фігури F у фігуру , при якому кожна точка X фігури F переходить у точку , симетричну відносно даної прямої а, називається перетворенням симетрії відносно прямоїа. Отримані фігури називаються симетричними відносно прямоїа.
Якщо перетворення симетрії відносно прямої а переводить фігуру F у себе, то така фігура називається симетричною відносно прямоїа.
На рисунках наведені приклади осей симетрії фігур.


Теорема. Перетворення симетрії відносно прямої є рухом.

Поворот

Поворотом площини навколо даної точки називається такий рух, при якому кожний промінь, що виходить із даної точки, повертається на один і той самий кут в одному й тому самому напрямку (див. рисунок).

Паралельне перенесення та його властивості

Перетворення фігури F, при якому довільна її точка з координатами переходить у точку , де a і b — одні й ті самі для всіх точок, називається паралельним перенесенням.
Теорема. Паралельне перенесення є рухом.
При паралельному перенесенні пряма переходить у паралельну пряму (або в себе) (див. рисунок).

Існування та єдиність паралельного перенесення

Теорема. Які б не були дві точки А і , існує одне, й тільки одне, паралельне перенесення, при якому точка А переходить у точку .

Співнаправленість півпрямих

Дві півпрямі називаються однаково напрямленими або співнапрямленими, якщо вони суміщаються паралельним перенесенням (рисунок 1).
Теорема. Якщо півпрямі а і b однаково напрямлені й півпрямі b і c однаково напрямлені, то півпрямі а і c також однаково напрямлені.
Дві півпрямі називаються протилежно напрямленими, якщо кожна з них одна­ково напрямлена з півпрямою, допов­няльною до другої (рисунок 2).

Рис. 1
a, b — співнапрямлені півпрямі

Рис. 2
c, d — протилежно напрямлені півпрямі

Рівність фігур

Дві фігури називаються рівними, якщо вони переводяться рухом одна в одну.
Теорема. Рівні трикутники (означення дивись у розділі «Геометрія. 7 клас») є рівними фігурами, тобто суміщаються рухом.