Основна властивість дробу

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне й те саме натуральне число, дістанемо дріб, що дорівнює даному.
Рівні дроби — це різні записи одного й того ж числа.

Застосування основної властивості дробу

Скорочення дробу
Ділення чисельника і знаменника дробу на їхній спільний дільник, відмінний від одиниці, називається скороченням дробу.
Найбільшим числом, на яке можна скоротити дріб, є найбільший спільний дільник чисельника і знаменника.
Дріб, у якого чисельник і знаменник взаємно прості числа, називається не­скоротним дробом.
Приклади
; ; — нескоротний дріб.
Іноді корисно розкласти чисельник і знаменник дробу на кілька множників, а потім скоротити.
Наприклад:
.
Скорочення можна проводити поступово, використовуючи ознаки подільності:
.
Зведення дробу до нового знаменника
Кожний дріб можна записати дробом із будь-яким знаменником, аби новий знаменник був кратним даному. Для цього чисельник і знаменник дробу треба помножити на додатковий множник, тобто частку від ділення бажаного знаменника на даний.
Приклади
1) Зведіть до знаменника 48 дріб .
Оскільки , чисельник і знаменник даного дробу помножимо на 3. Дістанемо:
.
2) Запишіть число 7 у вигляді дробу зі знаменником 5.
Оскільки , додатковим множником буде число 5. Отже, .

Зведення дробів до спільного знаменника

Будь-які дроби можна звести до спільного знаменника. Таким знаменником може бути будь-яке спільне кратне знаменників цих дробів. Зрозуміло, що звичайно обирають найменший спільний кратний знаменник (НСЗ).
Щоб звести дроби до найменшого спільного знаменника, треба:
1) знайти найменше спільне кратне знаменників;
2) знайти додаткові множники для кожного дробу;
3) чисельник і знаменник кожного дробу помножити на відповідні додаткові множ­ники.
Приклади
1) Звести дроби і до НСЗ.
Бачимо, що . Отже, 36 буде НСЗ цих дробів.
; .

2) Звести дроби і до НСЗ.
Бачимо, що більший знаменник 12 не є кратним 8. Починаємо розглядати числа , і т. д., перевіряючи, чи ділиться отриманий добуток на 8. , . НСЗ даних дробів 24. Дійсно, ; .
; .

 

3) Звести дроби і до НСЗ.
Бачимо, що , , причому числа 4 і 5 взаємно прості. Робимо висновок, що для даних дробів . Дійсно, , .
Отже, ; .>

Порівняння, додавання та віднімання дробів

Щоб виконати порівняння, додавання, віднімання дробів із різними знаменниками, треба звести їх до найменшого спільного знаменника, а потім виконати потрібну дію за аналогічним правилом для дробів з однаковими знаменниками.
Завжди треба звертати увагу, чи мож­на спростити отримане число: виділити цілу частину або скоротити дробову частину.
Приклади
1) .
2)

3) Порівняйте і .
; . Отже, .
Іноді дроби з різними знаменниками можна порівняти, не зводячи їх до спільного знаменника.
Приклади
1) , оскільки дріб правильний, тобто менший за 1, а — неправильний, тобто більший за 1.
2) , оскільки , , а .
3) , бо ,
а .

Перетворення звичайних дробів на десяткові

Щоб перетворити звичайний дріб на десятковий, треба ділити чисельник на знаменник за правилом ділення десяткових дробів.
У деяких випадках отримаємо скінченний десятковий дріб.
Приклад
.
В інших випадках дістанемо нескінченний періодичний десятковий дріб, тобто такий, у записі якого одна чи декілька цифр повторюються нескінченно. Таку групу цифр називають періодом дробу.
Приклад
.

Читають: дві цілих вісім десятих і два­на­дцять у періоді.
Якщо в розкладі знаменника звичайного дробу на прості множники є лише числа 2 і 5, такий дріб перетвориться на скінченний десятковий дріб.
Якщо в розкладі знаменника звичайного нескоротного дробу на прості множники крім чисел 2 і 5 є інші прості числа, такий дріб перетворюється на нескінченний періодичний десятковий дріб.
Якщо треба знайти значення числового виразу, який містить як звичайні, так і десяткові дроби, бажано привести їх до єдиної форми. Вибір форми запису залежить від конкретного завдання.
Приклади
1) або
.
2) .
У другому прикладі не можна перетворити на скінченний десятковий дріб, тому всі дроби записуємо у вигляді звичайних.
Треба також зазначити, що додавання та віднімання звичайних дробів мають такі ж властивості дій, що і натуральні числа (перестановка, сполучення, віднімання числа від суми тощо).