Додатні та від’ємні числа
Координатна пряма
Пряма з вибраними на ній початком відліку, одиничним відрізком і вказаним додатним напрямом називається координатною прямою.
Число, що показує положення точки на координатній прямій, називається координатою точки.
Приклад
Точка А розташована на прямій (див. рисунок) на відстані 2,5 одиничних відрізка праворуч від 0. Це означає, що координата точки А — число . Позначається: А (2,5).
Точка B на рисунку розташована ліворуч від 0 на відстані 4 одинакових відрізків. Позначається: B .
Отже, числа зі знаком «+» називають додатними. При записі додатних чисел знак «+», як правило, опускають.
Числа зі знаком «–» називають від’ємними.
Число 0 не є ні додатним, ні від’ємним. Два числа, що відрізняються одне від одного лише знаком, називаються протилежними числами.
Число, протилежне числу а, позначають . Таким чином, якщо
, то
; якщо
, то
, тобто
. Число 0 протилежне саме собі:
. Якщо дане число додатне, то протилежне йому — від’ємне і навпаки.
Зверніть увагу, що за записом не можна сказати, яке це число — додатне чи від’ємне.
Якщо х — додатне, то — від’ємне; якщо х — від’ємне, то
— додатне; якщо
, то
.
Натуральні числа, протилежні їм числа і число 0 називаються цілими числами. Числа, які можна записати у вигляді дробу , де m — ціле число, а n — натуральне число, називають раціональними числами.
Кожне раціональне число можна записати у вигляді скінченного або нескінченного періодичного десяткового дробу.
Модуль числа
Відстань від початку відліку до точки, що зображає число на координатній прямій, називається модулем даного числа. Позначення: — модуль а. Очевидно, що для додатних чисел і 0
, для від’ємних
.
для будь-якого числа а.
Модулі протилежних чисел рівні: .
Приклади
1) ;
;
.
2) Розв’яжіть рівняння.
а) ;
або
.
б) ;
.
в) ; рівняння не має коренів, тому що модуль числа не може бути від’ємним.
Порівняння чисел
Із двох чисел меншим є те, зображення якого на горизонтальній координатній прямій розташовано ліворуч, більшим — те, зображення якого розташовано праворуч.
Будь-яке додатне число більше від нуля.
Будь-яке від’ємне число менше від нуля.
Будь-яке додатне число більше від будь-якого від’ємного.
Із двох від’ємних чисел меншим є те, модуль якого більший.
Приклади
;
;
;
;
.
Додавання раціональних чисел
Щоб додати два від’ємних числа, треба додати їхні модулі й поставити перед одержаним числом знак «–»:
.
Щоб додати два числа з різними знаками, треба від більшого модуля відняти менший і поставити перед одержаним числом знак того доданка, модуль якого більший:
;
.
Сума двох протилежних чисел дорівнює нулю.
.
Властивості додавання
1. Переставна: .
2. Сполучна: .
3. .
4. .
Властивості додавання дають змогу виконувати дії у зручному порядку. Іноді зручно додати окремо всі від’ємні числа, окремо — всі додатні, а потім додати суми.
Приклади
1)
;
2)
.
Віднімання
Щоб від одного числа відняти друге, досить до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику: .
Приклади
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Оскільки віднімання можна замінити додаванням протилежного числа, то будь-який вираз, який містить дії додавання і віднімання, можна сприймати як суму. Наприклад:
Розкриття дужок
Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «+», треба опустити дужки і знак «+», що стоїть перед ними, і записати всі доданки зі своїми знаками.
Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «–», треба опустити дужки і знак «–», що стоїть перед ними, і записати всі доданки з протилежними знаками.
Приклади
1)
2) .
Множення
Щоб перемножити два від’ємних числа, треба перемножити їхні модулі (тобто добуток двох від’ємних чисел є додатне число).
При зміні знака одного з множників змінюється знак усього добутку.
Якщо добуток містить парне число від’ємних множників, він є додатним числом, а якщо непарне — від’ємним.
Приклади
1)

2)

3)

4)

Квадрат будь-якого числа є число невід’ємне. Наприклад:


Тобто

Знак куба числа збігається зі знаком самого числа. Наприклад:



Тобто, якщо




Зверніть увагу:


Для множення раціональних чисел справджуються властивості:
переставна —

сполучна —

розподільна —


Для будь-якого раціонального а правильно:



Приклади
1)


Добуток є додатним, тому що містить два від’ємних множники.
2)

3)

4) Винести за дужки спільний множник.
а)

б)

число 2 є НСД (4; 10).
Якщо буквений вираз можна записати як добуток числа й однієї чи кількох букв, то це число називають числовим коефіцієнтом виразу. Наприклад:



а, коефіцієнт 1;


Доданки, які мають однакову буквену частину, називаються подібними.
Щоб звести (тобто додати) подібні доданки, треба додати їхні коефіцієнти й результат помножити на спільну буквену частину.
Приклади
1)


2)

Ділення раціональних чисел
Часткою двох від’ємних чисел є число додатне. Щоб знайти його модуль, треба модуль діленого поділити на модуль дільника.
Часткою двох чисел із різними знаками є число від’ємне. Щоб знайти його модуль, треба модуль діленого поділити на модуль дільника.
Для будь-якого числа а:
;
;
Для :
;
;
. Ділити на 0 не можна.
Приклади
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Розв’язування рівнянь
Властивості рівнянь
Корені рівнянь не змінюються, якщо до обох частин додати будь-який доданок.
Отже, при розв’язуванні рівнянь доданки можна переносити з однієї частини в другу, змінюючи при цьому їхні знаки на протилежні.
Корені рівнянь не змінюються, якщо обидві його частини помножити або поділити на одне й те ж число, що не дорівнює 0.
Приклади
1) ,
,
,
,
,
.
2) .
Помножимо обидві частини наведеного рівняння на НСК (4; 6; 3), тобто на 12:
,
,
,
,
.
Отже, при розв’язуванні рівнянь доцільно спростити обидві частини, потім усі доданки, які містять невідоме, зібрати в одній частині, а ті, що не містять невідомого, — у другій, звести подібні доданки й отримати рівняння виду:
, де a і b — деякі числа.
Координатна площина
Проведемо дві перпендикулярні координатні прямі, які перетинаються в початку їх відліку — точці О. Ці прямі називаються осями координат. Горизонтальну пряму називають віссю абсцис і позначають Ox, вертикальну — віссю ординат і позначають Oy. Точку О називають початком координат. Ці координатні прямі утворюють декартову прямокутну систему координат. Площина, на якій задана прямокутна система координат, називається координатною площиною. Через будь-яку точку А координатної площини можна провести прямі, перпендикулярні до осей Ox і Oy.
Нехай ці прямі перетнуть відповідно вісь абсцис — у точці з координатою а, а вісь ординат — у точці з координатою b.
Пара чисел (а, b) визначає положення точки А на координатній площині й називається її координатами. Позначають А(а, b). Число а називається абсцисою точки А, число b — її ординатою. Зверніть увагу: має значення, в якому порядку записані числа а і b. Точка В(b; а) не збігається з А(а; b).
Якщо точка лежить на осі абсцис, то її ордината дорівнює 0; якщо точка лежить на осі ординат, то її абсциса дорівнює нулю. Початок координат — О(0; 0).
Осі координат розбивають площину на 4 частини, які називаються координатними чвертями. Нумерація чвертей, знаки координат у кожній чверті, а також приклади точок з їх координатами показані на рисунку.
Таким чином, щоб побудувати, наприклад, точку М(k; р), треба поставити олівець в О(0; 0), потім пересунутися по осі абсцис на одиничних відрізків праворуч (якщо
) або ліворуч (якщо
). Від отриманої точки на осі абсцис треба рухатись угору на
одиничних відрізків (якщо
) або униз (якщо
).
- Правила: Цілі числа. Раціональні числа