Додатні та від’ємні числа

Координатна пряма

Пряма з вибраними на ній початком відліку, одиничним відрізком і вказаним додатним напрямом називається координатною ­прямою.
Число, що показує положення точки на координатній прямій, називається координатою точки.
Приклад
Точка А розташована на прямій (див. рисунок) на відстані 2,5 одиничних відрізка праворуч від 0. Це означає, що координата точки А — число . Позначається: А (2,5).

Точка B на рисунку розташована ліворуч від 0 на відстані 4 одинакових відрізків. Позначається: B .
Отже, числа зі знаком «+» називають ­додатними. При записі додатних чисел знак «+», як правило, опускають.
Числа зі знаком «–» називають від’єм­ними.
Число 0 не є ні додатним, ні від’ємним. Два числа, що відрізняються одне від одного лише знаком, називаються протилежними ­числами.
Число, протилежне числу а, позначають . Таким чином, якщо , то ; якщо , то , тобто . Число 0 протилежне саме собі: . Якщо дане число додатне, то протилежне йому — від’ємне і навпаки.
Зверніть увагу, що за записом не можна сказати, яке це число — додатне чи від’ємне.
Якщо х — додатне, то — від’ємне; якщо х — від’ємне, то — додатне; якщо , то .
Натуральні числа, протилежні їм числа і число 0 називаються цілими числами. Числа, які можна записати у вигляді дробу , де m — ціле число, а n — натуральне число, називають раціональними числами.
Кожне раціональне число можна записати у вигляді скінченного або нескінченного періодичного десяткового дробу.

Модуль числа

Відстань від початку відліку до точки, що зображає число на координатній прямій, називається модулем даного числа. Позначення: — модуль а. Очевидно, що для додатних чисел і 0 , для від’ємних .

для будь-якого числа а.
Модулі протилежних чисел рівні: .
Приклади
1) ; ; .
2) Розв’яжіть рівняння.
а) ; або .
б) ; .
в) ; рівняння не має коренів, тому що модуль числа не може бути від’ємним.

Порівняння чисел

Із двох чисел меншим є те, зображення якого на горизонтальній координатній прямій розташовано ліворуч, більшим — те, зображення якого розташовано праворуч.
Будь-яке додатне число більше від нуля.
Будь-яке від’ємне число менше від нуля.
Будь-яке додатне число більше від будь-якого від’ємного.
Із двох від’ємних чисел меншим є те, модуль якого більший.
Приклади
; ; ; ; .

Додавання раціональних чисел

Щоб додати два від’ємних числа, треба додати їхні модулі й поставити перед одержаним числом знак «–»:
.
Щоб додати два числа з різними знаками, треба від більшого модуля відняти менший і поставити перед одержаним числом знак того доданка, модуль якого більший:
;
.
Сума двох протилежних чисел дорівнює нулю.
.

Властивості додавання

1. Переставна: .
2. Сполучна: .
3. .
4. .
Властивості додавання дають змогу виконувати дії у зручному порядку. Іноді зручно додати окремо всі від’ємні числа, окремо — всі додатні, а потім додати суми.
Приклади
1)
;
2)

.

Віднімання

Щоб від одного числа відняти друге, досить до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику: .
Приклади
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Оскільки віднімання можна замінити додаванням протилежного числа, то будь-який вираз, який містить дії додавання і віднімання, можна сприймати як суму. Наприклад:

Розкриття дужок

Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «+», треба опустити дужки і знак «+», що стоїть перед ними, і записати всі доданки зі своїми знаками.
Щоб розкрити дужки, перед якими стоїть знак «–», треба опустити дужки і знак «–», що стоїть перед ними, і записати всі доданки з протилежними знаками.
Приклади
1)

2) .

Множення

 

Щоб знайти добуток двох чисел із різними знаками, треба перемножити їхні модулі й поставити перед одержаним числом знак «–».
Щоб перемножити два від’ємних числа, треба перемножити їхні модулі (тобто добуток двох від’ємних чисел є додатне число).
При зміні знака одного з множників змінюється знак усього добутку.
Якщо добуток містить парне число від’ємних множників, він є додатним числом, а якщо непарне — від’ємним.
Приклади
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Квадрат будь-якого числа є число невід’ємне. Наприклад:
; .
Тобто для будь-яких значень а.
Знак куба числа збігається зі знаком самого числа. Наприклад:
;
; .
Тобто, якщо , то і ; якщо , то і .
Зверніть увагу: ; .
Для множення раціональних чисел справджуються властивості:
переставна — ;
сполучна — ;
розподільна — ;
.
Для будь-якого раціонального а пра­­вильно:
; ;
.
Приклади
1)
.
Добуток є додатним, тому що містить два від’ємних множники.
2) .
3) .
4) Винести за дужки спільний множник.
а) ;
б) ;
число 2 є НСД (4; 10).
Якщо буквений вираз можна записати як добуток числа й однієї чи кількох букв, то це число називають числовим коефіцієнтом виразу. Наприклад:
, коефіцієнт 2,5;
, коефіцієнт ;
а, коефіцієнт 1;
, коефіцієнт .
Доданки, які мають однакову буквену частину, називаються подібними.
Щоб звести (тобто додати) подібні доданки, треба додати їхні коефіцієнти й результат помножити на спільну буквену частину.
Приклади
1)
;
2) .

Ділення раціональних чисел

Часткою двох від’ємних чисел є число додатне. Щоб знайти його модуль, треба модуль діленого поділити на модуль дільника.
Часткою двох чисел із різними знаками є число від’ємне. Щоб знайти його модуль, треба модуль діленого поділити на модуль дільника.
Для будь-якого числа а:
; ;
Для : ; ; . Ділити на 0 не можна.
Приклади
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .

Розв’язування рівнянь

Властивості рівнянь

Корені рівнянь не змінюються, якщо до обох частин додати будь-який доданок.
Отже, при розв’язуванні рівнянь доданки можна переносити з однієї частини в другу, змінюючи при цьому їхні знаки на проти­лежні.
Корені рівнянь не змінюються, якщо обидві його частини помножити або поділити на одне й те ж число, що не дорівнює 0.
Приклади
1) ,
,
,
,
, .
2) .
Помножимо обидві частини наведеного рівняння на НСК (4; 6; 3), тобто на 12:
,
,
,
,
.
Отже, при розв’язуванні рівнянь доцільно спростити обидві частини, потім усі доданки, які містять невідоме, зібрати в одній частині, а ті, що не містять невідомого, — у другій, звести подібні доданки й отримати рівняння виду:
, де a і b — деякі числа.

Координатна площина

Проведемо дві перпендикулярні координатні прямі, які перетинаються в початку їх відліку — точці О. Ці прямі називаються осями координат. Горизон­тальну пряму називають віссю абсцис і позначають Ox, вертикальну — віссю ординат і позначають Oy. Точку О називають початком координат. Ці координатні прямі утворюють декартову прямо­кутну систему координат. Пло­щи­на, на якій задана прямокутна система координат, називається координатною площиною. Через будь-яку точку А координатної площини можна провести прямі, перпендикулярні до осей Ox і Oy.
Нехай ці прямі перетнуть відповідно вісь абсцис — у точці з координатою а, а вісь ординат — у точці з координатою b.
Пара чисел (а, b) визначає положення точки А на координатній площині й називається її координатами. Позначають А(а, b). Число а називається абсцисою точки А, число b — її ординатою. Зверніть увагу: має значення, в якому порядку записані числа а і b. Точка В(b; а) не збігається з А(а; b).
Якщо точка лежить на осі абсцис, то її ордината дорівнює 0; якщо точка лежить на осі ординат, то її абсциса дорівнює нулю. Початок координат — О(0; 0).
Осі координат розбивають площину на 4 частини, які називаються координатними чвертями. Нумерація чвертей, знаки координат у кожній чверті, а також приклади точок з їх координатами показані на рисунку.

Таким чином, щоб побудувати, наприклад, точку М(k; р), треба поставити олівець в О(0; 0), потім пересунутися по осі абсцис на одиничних відрізків праворуч (якщо ) або ліворуч (якщо ). Від отриманої точки на осі абсцис треба рухатись угору на одиничних відрізків (якщо ) або униз (якщо ).