Рівняння

Два рівняння називають рівносильними, якщо вони мають одні й ті ж корені; рівняння, які не мають коренів, також вважають рівносильними.

Основні властивості рівнянь

1. Якщо виконати тотожні перетворення деякої частини рівняння, то одержимо рівняння, рівносильне даному.
2. Якщо деякий доданок перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то одержимо рівняння, рівносильне даному.
3. Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне і те ж відмінне від нуля число, то одержимо рівняння, рівносильне даному.

Лінійні рівняння з одним невідомим

Рівняння виду , де a і b — деякі числа, а х — невідоме, називається лінійним рівнянням з одним невідомим.
Числа a і b називають коефіцієнтами.

Кількість коренів лінійного рівняння

1. Якщо , лінійне рівняння має єдиний корінь:
.
2. Якщо , , лінійне рівняння коренів не має, бо рівняння набуває вигляду .
3. Якщо , , лінійне рівняння набуває вигляду , де х — довільне число, і рівняння має безліч коренів.
Приклади
1) ,
,
,
,
.
2) ,
,
,
; рівняння коренів не має.
3) .

Помножимо обидві частини наданого рівняння на найменше спільне кратне (НСК) знаменників рівняння. НСК .
,
,
,
,
,
.

Розв’язування задач за допомогою рівняння

Приклад розв’язування подібних задач наведено також у розділі «Математика. 6 клас».
Задача 1. За зміну три робітники виготовили партію деталей. Перший робітник виготовив 30% усіх деталей, другий — на 5 деталей менше, ніж третій, і на дві деталі більше, ніж перший. Скільки всього деталей виготовили робітники разом?
Розв’язання
Нехай робітники виготовили х деталей. Тоді перший виготовив 0,3х деталей, другий — деталей, а третій — решту, тобто деталей. За умовою задачі, другий виготовив на 5 деталей менше, ніж третій. Складемо й розв’яжемо рівняння:
,
,
,
,
.
Відповідь: 90 деталей.
Задача 2. Автомобіль мав подолати шлях 140 км за 2 години. Деяку частину шляху він проїхав зі швидкістю 60 км/год, а решту шляху — зі швидкістю 75 км/год. Скільки кілометрів проїхав автомобіль зі швидкістю 60 км/год, якщо відомо, що до місця призначення він прибув вчасно?
Розв’язання
Нехай автомобіль проїхав зі швидкістю 60 км/год х км. Тоді на цю частину шляху він витратив год. Решту шляху, тобто км, він проїхав зі швидкістю 75 км/год і витратив на це год. На весь шлях він витратив 2 години. Складемо й розв’яжемо рівняння:
,
,
,
.
Відповідь: 40 км.