Рівняння з двома змінними
Лінійним рівнянням з двома невідомими називається рівняння виду , де x і y — невідомі, a, b, і с — числа (коефіцієнти рівняння).
Розв’язком рівняння з двома невідомими називається пара значень невідомих, при яких рівняння перетворюється у правильну числову рівність. Наприклад: ;
— розв’язок рівняння, адже
— правильно;
не є розв’язком, бо
— неправильно.
Щоб знайти розв’язок рівняння з двома невідомими, можна підставити в рівняння довільне значення одного невідомого і, розв’язавши одержане рівняння, знайти відповідне значення другого невідомого. Наприклад:
,
,
,
,
.
Рівняння з двома невідомими називаються рівносильними, якщо вони мають одні й ті ж розв’язки або не мають розв’язків.
Властивості рівнянь з двома невідомими відповідають властивостям рівнянь з одним невідомим.
Використовуючи ці властивості, можна знаходити розв’язки рівняння за такою схемою: виразити з даного рівняння одне невідоме через друге, а потім брати довільне значення другого невідомого й обчислювати відповідне значення першого. Наприклад:
,
,
,
,
,
;
.
,
,
,
;
.
Графік лінійного рівняння з двома невідомими
Графіком рівняння з двома невідомими називається множина всіх точок координатної площини, координати котрих є розв’язками цього рівняння. Графіком рівняння , у якому хоча б один із коефіцієнтів (a або b) відмінний від нуля, є пряма.
Для побудови будь-якої прямої досить знати координати двох точок.
Приклад. Побудуйте графік рівняння .
.
Задаємо значення x та обчислюємо відповідне значення y. Таким чином заповнимо таблицю:
x | 0 | 2,5 |
y | 5 | 0 |
Отже, маємо дві точки: та
.
Позначаємо на координатній площині точки і
і проводимо через них пряму (див. рисунок праворуч).
Якщо в рівнянні ,
, отримаємо
,
.
Графік рівняння :
Якщо ,
, маємо
.
Графік рівняння :
Системи лінійних рівнянь з двома невідомими
Розв’язок системи рівнянь з двома невідомими — пара значень невідомих, яка є розв’язком кожного з рівнянь системи.
Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає.
Графічний спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь
Щоб розв’язати систему рівнянь графічно, треба побудувати в одній системі координат графіки рівнянь системи й знайти їхні спільні точки. Координати цих точок і є розв’язками системи рівнянь.
Виходячи з того, що графіком лінійного рівняння є пряма, робимо висновок, що система двох лінійних рівнянь з двома невідомими може мати один розв’язок, не мати розв’язків, мати безліч розв’язків.
Приклади
Розв’яжіть графічно системи лінійних рівнянь.
1)
Визначимо точки для побудови графіків кожного з рівнянь системи:
Для рівняння y = 3 - x |
Для рівняння y = 2x - 3 |
||||
x | 0 | 3 | x | 0 | 1 |
y | 3 | 0 | y | -3 | -1 |
Побудуємо графіки й знайдемо точку їх перетину (рисунок нижче).
Відповідь: .
2)
Для рівняння y = 2x - 1 |
Для рівняння y = 2x - 3 |
||||
x | 0 | 1 | x | 0 | 1 |
y | -1 | 1 | y | -3 | -1 |
Побудуємо графіки (рисунок на с. 45).
Відповідь: розв’язків немає.
3)
Прямі будуть збігатися.
Відповідь: система має безліч розв’язків, котрі описуються рівнянням
Спосіб підстановки
При розв’язуванні систем лінійних рівнянь способом підстановки треба:
1) виразити з якого-небудь рівняння системи одне невідоме через інше;
2) підставити одержаний вираз в інше рівняння системи замість цього невідомого;
3) розв’язати одержане рівняння з одним невідомим;
4) знайти відповідне значення іншого невідомого.
Приклади
1)
Відповідь: .
2)
Відповідь: .
Спосіб додавання
При розв’язуванні системи рівнянь способом додавання треба:
1) помножити обидві частини рівнянь системи на такі числа, щоб коефіцієнти при одному з невідомих стали протилежними (або рівними) числами;
2) почленно додати (або відняти) відповідно ліві й праві частини рівнянь;
3) розв’язати одержане рівняння з одним невідомим;
4) знайти відповідне значення іншого невідомого.
Приклади
1)
Відповідь: .
2)
Відповідь: .
3)
Відповідь: .
4)
Додамо та віднімемо почленно рівняння системи:
Відповідь: .
- Правила: Система двох лінійних рівнянь з двома змінними та її розв’язок
- Правила: Розв’язування систем двох лінійних рівнянь з двома змінними графічним способом, способом підстановки та способом додавання
- Правила: Розв’язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь
- Відео: Системи лінійних рівнянь