Рівняння з двома змінними

Лінійним рівнянням з двома невідомими називається рівняння виду , де x і y — невідомі, a, b, і с — числа (коефіцієнти рівняння).
Розв’язком рівняння з двома невідомими називається пара значень невідомих, при яких рівняння перетворюється у правильну числову рівність. Наприклад: ;
— розв’язок рівняння, адже — правильно;
не є розв’язком, бо — неправильно.
Щоб знайти розв’язок рівняння з двома невідомими, можна підставити в рівняння довільне значення одного невідомого і, розв’язавши одержане рівняння, знайти відповідне значення другого невідомого. Наприклад:
,
, ,
, .
Рівняння з двома невідомими називаються рівносильними, якщо вони мають одні й ті ж розв’язки або не мають розв’язків.
Властивості рівнянь з двома невідомими відповідають властивостям рівнянь з одним невідомим.
Використовуючи ці властивості, можна знаходити розв’язки рівняння за такою схемою: виразити з даного рівняння одне невідоме через друге, а потім брати довільне значення другого невідомого й обчислювати відповідне значення першого. Наприклад:
, , ,
, , ; .
, , , ; .

Графік лінійного рівняння з двома невідомими

Графіком рівняння з двома невідомими називається множина всіх точок координатної площини, координати котрих є розв’язками цього рівняння. Графіком рівняння , у якому хоча б один із коефіцієнтів (a або b) відмінний від нуля, є пряма.
Для побудови будь-якої прямої досить знати координати двох точок.
Приклад. Побудуйте графік рівняння .
.

Задаємо значення x та обчислюємо відповідне значення y. Таким чином заповнимо таб­лицю:

x	0	2,5
y	5	0

Отже, маємо дві точки: та .
Позначаємо на координатній площині точки і і проводимо через них пряму (див. рисунок праворуч).
Якщо в рівнянні , , отримаємо , .
Графік рівняння :

Якщо , , маємо .
Графік рівняння :

Системи лінійних рівнянь з двома невідомими

Якщо треба знайти спільні розв’язки кількох рівнянь, то кажуть, що ці рівняння утворюють систему рівнянь.
Розв’язок системи рівнянь з двома невідомими — пара значень невідомих, яка є розв’язком кожного з рівнянь системи.
Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає.

Графічний спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь

Щоб розв’язати систему рівнянь графічно, треба побудувати в одній системі координат графіки рівнянь системи й знайти їхні спільні точки. Координати цих точок і є розв’язками системи рівнянь.
Виходячи з того, що графіком лінійного рівняння є пряма, робимо висновок, що система двох лінійних рівнянь з двома невідомими може мати один розв’язок, не мати розв’язків, мати безліч розв’язків.
Приклади
Розв’яжіть графічно системи лінійних рівнянь.
1)
Визначимо точки для побудови графіків кожного з рівнянь системи:

Для рівняння y = 3 - x			Для рівняння y = 2x - 3
x	0	3	x	0	1
y	3	0	y	-3	-1

Побудуємо графіки й знайдемо точку їх перетину (рисунок нижче).
Відповідь: .
2)

Для рівняння y = 2x - 1			Для рівняння y = 2x - 3
x	0	1	x	0	1
y	-1	1	y	-3	-1

Побудуємо графіки (рисунок на с. 45).


Відповідь: розв’язків немає.
3)
Прямі будуть збігатися.
Відповідь: система має безліч розв’язків, котрі описуються рівнянням

Спосіб підстановки

При розв’язуванні систем лінійних рівнянь способом підстановки треба:
1) виразити з якого-небудь рівняння системи одне невідоме через інше;
2) підставити одержаний вираз в інше рівняння системи замість цього невідомого;
3) розв’язати одержане рівняння з одним невідомим;
4) знайти відповідне значення іншого невідомого.
Приклади
1)


Відповідь: .
2)





Відповідь: .

Спосіб додавання

При розв’язуванні системи рівнянь способом додавання треба:
1) помножити обидві частини рівнянь системи на такі числа, щоб коефіцієнти при одному з невідомих стали протилежними (або рівними) числами;
2) почленно додати (або відняти) відповідно ліві й праві частини рівнянь;
3) розв’язати одержане рівняння з одним невідомим;
4) знайти відповідне значення іншого невідомого.
Приклади
1)

Відповідь: .
2)


Відповідь: .
3)


Відповідь: .
4)
Додамо та віднімемо почленно рівняння системи:


Відповідь: .